Vlastní číslo

V matematice označuje vlastní vektor (anglicky eigenvector, německy Eigenvektor) dané transformace nenulový vektor, jehož směr se při transformaci nemění. Koeficient, o který se změní velikost vektoru, se nazývá vlastní číslo (hodnota) (anglicky eigenvalue, německy Eigenwert). Množina vlastních vektorů, které náleží stejnému vlastnímu číslu, se nazývá vlastní prostor transformace.

Daný vektor může mít i jiná označení, je například zvykem říkat vlastní řešení (pokud je vektor řešením nějaké rovnice), vlastní funkce (pokud jde o funkci), vlastní stav (pokud vektor popisuje kvantový stav), apod.

Vlastní čísla hrají důležitou roli nejen v lineární algebře, ale i funkcionální analýze, kybernetice nebo také v kvantové fyzice.

Definice a značení

Vlastní vektor lineárního operátoru $A$ je takový nenulový vektor u, pro který

$\mathbf{A} \mathbf{u} =\lambda \mathbf{u}$, kde $\lambda$ je číslo.

Číslo $\lambda$ se nazývá vlastní číslo (též charakteristické číslo) operátoru $\mathbf{A}$ a $\mathbf{u}$ vlastní vektor operátoru $\mathbf{A}$ příslušný vlastní hodnotě $\lambda$.

V kvantové mechanice se můžeme často setkat se zápisem $\hat A u = A u$ anebo $\hat A\,|u\rangle = A\,|u\rangle$ kde $\hat A$ označuje operátor a A příslušné vlastní číslo. Operátor $\hat A$ je často diferenciální operátor na nějakém prostoru funkcí nebo distribucí.

Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů matice

Definice určuje soustavu lineárních rovnic

$\sum_{j=1}^n a_{ij} u_j = \lambda u_i$

pro $i = 1, 2, \cdots, n$.

Proměnnou $\mathbf{u}$ na pravé straně lze pomocí Kroneckerova delta vyjádřit jako

$u_i = \sum_{j=1}^n u_j \delta_{ij}$

Dosazením do předchozího vztahu pak dostaneme

$\sum_{j=1}^n ( a_{ij} - \lambda \delta_{ij}) u_j = 0$,

což lze vyjádřit maticově jako

$(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{E})\cdot \mathbf{u} = \mathbf{0}$,

kde $\mathbf{E}$ je jednotková matice. Na tento vztah lze nahlížet jako na homogenní soustavu lineárních algebraických rovnic o $n$ neznámých. Ta má netriviální (nenulové) řešení právě tehdy, když je matice soustavy singulární, tzn. platí

$\det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{E}) = 0$,

což lze rozepsat

$\begin{vmatrix} a_{11} - \lambda & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} - \lambda & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} - \lambda \end{vmatrix} = 0$.

Tato rovnice se nazývá charakteristická rovnice. Rovnice podobného typu bývají také označovány jako sekulární rovnice, protože dříve sloužily k výpočtům pohybů planet (jejich odchylek od eliptických drah).

Polynom na levé straně této rovnice se nazývá charakteristický polynom matice $\mathbf{A}$ a jeho kořeny jsou vlastními čísly matice $\mathbf{A}$. Proto má matice $\mathbf{A}$ vždy $n$ vlastních čísel, z nichž se některá mohou opakovat. Počet opakování, tj. násobnost kořenu charakteristického polynomu nazýváme algebraickou násobností vlastního čísla.

Vlastní vektory matice $\mathbf{A}$ vyhovují rovnici $(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{E})\cdot \mathbf{u} = \mathbf{0}$ pro jednotlivá vlastní čísla.

Libovolný násobek vlastního vektoru je rovněž vlastním vektorem, není však považován za jiný vlastní vektor. Ke kořenu charakteristického polynomu násobnosti $m$ existuje nejvýše $m$ vzájemně lineárně nezávislých vlastních vektorů. Počet lineárně nezávislých vlastních vektorů odpovídajících vlastnímu číslu $\lambda$, tj. $\mathrm{dim}(\mathcal{N}(\mathbf{A}-\lambda\mathbf{E}))$ se nazývá geometrická násobnost vlastního čísla.

Vztah mezi algebraickou a geometrickou násobností lze snadno nahlédnout pomocí Jordanova rozkladu matice.

Příklad

Určete vlastní čísla a vlastní vektory matice

$\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$

Charakteristická rovnice má tvar

$\begin{vmatrix} 3 - \lambda & -1 \\ 2 & - \lambda \end{vmatrix} = 0$.

Po jejím rozepsání (tedy jednoduše vyčíslíme determinant a položíme jej roven nule) dostaneme kvadratickou rovnici

$\lambda^2 - 3 \lambda + 2 = 0 \,$

Řešením této rovnice získáme vlastní čísla

$\lambda_1 = 2, \lambda_2 = 1 \,$

Vlastní vektor $\mathbf{u}_1$ příslušný vlastní hodnotě $\lambda_1$ získáme řešením soustavy lineárních rovnic

$\begin{pmatrix} 3 - \lambda_1 & -1 \\ 2 & - \lambda_1 \end{pmatrix} \cdot \mathbf{u}_1 = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & - 2 \end{pmatrix} \cdot \mathbf{u}_1 = \mathbf{0}$

Řešením této rovnice je např. vektor

$\mathbf{u}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$

Vlastní vektor $\mathbf{u}_2$ příslušný vlastní hodnotě $\lambda_2$ získáme řešením soustavy lineárních rovnic

$\begin{pmatrix} 3 - \lambda_2 & -1 \\ 2 & - \lambda_2 \end{pmatrix} \cdot \mathbf{u}_2 = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \cdot \mathbf{u}_2 = \mathbf{0}$

Řešením této rovnice je např. vektor

$\mathbf{u}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

Vlastnosti

• Nula je vlastním číslem matice $\mathbf{A}$ právě tehdy, když je matice singulární. Je-li matice $\mathbf{A}$ regulární, pak nula není jejím vlastním číslem.
• Je-li matice $\mathbf{A}$ symetrická a reálná (t.j. obsahuje pouze reálná čísla), pak všechna její vlastní čísla jsou reálná.
• Jestliže k matici $\mathbf{A}$ existuje inverzní matice $\mathbf{A}^{-1}$, pak $\lambda$ je vlastním číslem matice $\mathbf{A}$ tehdy, je-li $\textstyle\frac{1}{\lambda}$ vlastním číslem matice $\mathbf{A}^{-1}$. Přitom platí, že vlastní vektory matice $\mathbf{A}$ odpovídající vlastnímu číslu $\lambda$ jsou stejné jako vlastní vektory matice $\mathbf{A}^{-1}$ odpovídající vlastnímu číslu $\lambda^{-1}$.
• Pokud má matice $\mathbf{A}$ vlastní číslo $\lambda$ a odpovídající vlastní vektor $\mathbf{u}$, pak matice $\mathbf{A}^2$ má vlastní číslo $\lambda^2$ a jemu odpovídající vlastní vektor je $\mathbf{u}$.
• Je-li vlastním číslem reálné matice $\mathbf{A}$ komplexní číslo $z$, pak je také komplexně sdružené číslo $\overline z$ vlastním číslem matice $\mathbf{A}$.
• Je-li lineární operátor $\hat A$ hermiteovský, jsou všechna vlastní čísla reálná.

Spektrum operátoru

Tato část článku potřebuje úpravy.

Můžete Wikipedii pomoci tím, že ji vhodně vylepšíte. Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl, Encyklopedický styl a Odkazy.

Tento článek není dostatečně ozdrojován a může tedy obsahovat informace, které je třeba ověřit.
Jste-li s popisovaným předmětem seznámeni, pomozte doložit uvedená tvrzení doplněním referencí na věrohodné zdroje.

Množina všech vlastních čísel tvoří část spektra operátoru. Tato část se nazývá bodové (diskrétní) spektrum. Dalšími částmi spektra mohou být spojité spektrum a reziduální spektrum.

Nechť $\hat A$ je lineární operátor.

Pokud ke každému vlastnímu číslu $A_n$ přísluší právě jedna vlastní funkce $u_n$, pak říkáme, že operátor má prosté (nedegenerované) spektrum.

Pokud některým vlastním číslům $A_n$ přísluší několik lineárně nezávislých vlastní funkcí $u_{n\mu}$, tzn.

$\hat A u_{n\mu} = A_n u_{n\mu}$,

kde $\mu =1,2,...,g_n$, pak hovoříme o degenerovaném spektru. Počet lineárně nezávislých funkcí $g_n$ se nazývá násobností (stupněm) degenerace.

Související články

• Determinant
• Matice
• Operátor
• Podobnost matic
• Schurův rozklad
• Soustava lineárních rovnic
• Spektrum matice