Matice

Tento článek pojednává o matematice. Další významy jsou uvedeny v článku Matice (rozcestník).

Matice je v matematice obdélníkové či čtvercové schéma čísel nebo nějakých matematických objektů – prvků matice (též elementů matice). Obsahuje obecně m řádků a n sloupců. Hovoříme pak o matici typu $\scriptstyle m \times n$.

Část matematiky, která využívá matice, je označována jako maticový počet.

Matice se často využívají pro vyjádření obecné rotace vektorů, transformace vektorů od jedné báze k bázi jiné, k výpočtu soustav lineárních rovnic, či k vyjádření operátorů v kvantové mechanice.

Označení prvků matice

Prvky matice jsou označeny indexy udávajícími řádek a sloupec, v nichž se prvek nalézá. Prvek v i-tém řádku a j-tém sloupci matice A se obvykle značí $\scriptstyle a_{ij}$. Potom $\scriptstyle i$-tý řádek matice obsahuje vodorovnou $\scriptstyle n$-tici prvků $\scriptstyle (a_{i1}, a_{i2}, ..., a_{in})\,$, kde $\scriptstyle i = 1, 2, ..., m$ a $\scriptstyle j$-tý sloupec matice obsahuje svislou $\scriptstyle m$-tici čísel $\scriptstyle (a_{1j}, a_{2j}, ..., a_{mj})\,$, kde $\scriptstyle j = 1, 2, ..., n$.

Např. a₅₃ leží v pátém řádku a třetím sloupci. Indexy se píší buďto oba dole jako a₅₃, nebo první nahoře a druhý dole jako a⁵₃, což má význam, jakmile je potřeba rozlišovat kovariantní a kontravariantní indexy, zejména operujeme-li s maticemi jako s tenzory. Tedy matici m krát n zapíšeme jako:

$\mathbf{A}=\begin{pmatrix} {a^1}_1 & {a^1}_2 & \dots & {a^1}_n\\ {a^2}_1 & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & {a^{m-1}}_n \\ {a^m}_1 & \dots & {a^m}_{n-1} & {a^m}_n \end{pmatrix}, \qquad\text{nebo}\qquad \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1,n}\\ a_{2,1} & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & a_{m-1,n} \\ a_{m,1} & \dots & a_{m,n-1} & a_{m,n} \end{pmatrix}.$

Pro zjednodušení se také používá zápisu

$\mathbf{A} = (a_{i,j})$.

Potřebujeme-li zdůraznit počet řádků a sloupců, lze také použít zápis

$\mathbf{A} = {(a_{i,j})}_{m,n}$.

Pokud nehrozí chyba (např. indexy jsou jednociferné), lze vynechat čárku oddělující oba indexy, tj. $a_{ij}$.

Příklad

Matice

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 7 \\ 4 & 9 & 2 \\ 6 & 1 & 5 \end{pmatrix}$

je obdélníková matice velikosti 4×3. Prvek matice a₂₃ nebo a²₃ je 7.

Použití

Matice jako zápis lineárního zobrazení

Matice představují nejjednodušší nástroj, jak popsat v souřadnicích lineární zobrazení z prostorů V do prostoru W, pokud máme na prostoru V zvolenou bázi $\scriptstyle {v_j}$ a na prostoru W bázi $\scriptstyle {w_j}$. Matice zobrazení vytvoříme tak, že její i-tý sloupec bude zápis souřadnic obrazu vektoru $\scriptstyle v_i$ zapsaného v bázi $\scriptstyle w_j$.

Matice přechodu

Matice jsou užitečný nástroj na spočtení souřadnic vektoru v nějaké bázi, pokud známe jeho souřadnice v jiné bázi. Pokud $\scriptstyle \{e_1,\ldots,e_n\}$ a $\scriptstyle \{e_1',\ldots,e_n'\}$ jsou dvě báze, pro které platí $\scriptstyle e_j'=\sum_{i}e_i a^i_{\,\,j},$, neboli

$(e_1',\ldots,e_n')=(e_1,\ldots,e_n)A,$

pak matice $\scriptstyle \mathbf{A}=(a^i_{\,\,j})$ se nazývá matice přechodu od báze $\scriptstyle \{e_i\}_i$ k bázi $\scriptstyle \{e_i'\}_i$. Pro souřadnice pak platí

$\mathbf{A}^{-1} \left(\begin{array}{c}x^1\\\ldots\\x^n\end{array}\right)_{\{e_i\}_i}= \left(\begin{array}{c}x'^{1}\\\ldots\\x'^{n}\end{array}\right)_{\{e_i'\}_i},$

kde $\scriptstyle x^i$ jsou souřadnice libovolného vektoru v bázi $\scriptstyle \{e_i\}_i$ a $\scriptstyle x'^{i}$ jsou jeho souřadnice v bázi $\scriptstyle \{e_i'\}_i$ a $\scriptstyle \mathbf{A}^{-1}$ je inverzní matice k matici $\scriptstyle \mathbf{A}$.

Duální báze k $\scriptstyle \{e_i\}$ a $\scriptstyle \{e_i'\}$ (pokud je píšeme do sloupců) se transformují stejně jako souřadnice a souřadnice duálních vektorů v duálních bázích (pokud je píšeme do řádků) stejně jako původní bázové vektory.

Matice jako zápis bilineární formy

Matice představují jednoduchý nástroj, jak popsat v souřadnicích bilineární zobrazení (například skalární součin) $\scriptstyle V\times V\to K$ (obvykle $\scriptstyle K=\mathbb{R}$ nebo $\scriptstyle \mathbb{C}$), pokud máme na prostoru V zvolenou bázi $\scriptstyle {v_j}$ a na prostoru W bázi $\scriptstyle {w_j}$. Matice zobrazení A vytvoříme tak, že $\scriptstyle a_{ij}:=(v_i, w_j)$, kde (.) je příslušná bilineární forma. Pak v souřadnicích platí $\scriptstyle (\{x_i\},\{y_j\})=\{x_i\}^T A \{y_j\}$.

Systémy lineárních rovnic

Související informace naleznete v článku Soustava lineárních rovnic.

Systém m rovnic o n neznámých $\scriptstyle \sum_j a_{ij}x_j=b_i$ se dá zapsat elegantně do matice jako

$\scriptstyle \left( \begin{array}{cccc|c} a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1,n} & b_1\\ a_{2,1} & \dots & \dots & \dots & b_2\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{m,1} & \dots & a_{m,n-1} & a_{m,n} & b_m \end{array} \right).$

Řešení se nezmění, pokud budeme provádět následující úpravy:

• Výměna dvou řádků
• Vynásobení řádku nenulovým číslem
• Přičtení násobku nějakého řádku k jinému řádku

Takovými operacemi je možno systém značně zjednodušit (viz Gaussova eliminace).

Zkoumání lineární nezávislosti vektorů

Pokud mám nějakou sadu vektorů zapsanou v souřadnicích, můžu tyto vektory (resp. jejich souřadnicové vyjádření) zapsat jako řádky pod sebe a vznikne matice. Lineární obal řádků matice se nezmění, pokud budu dělat následující úpravy:

• Výměna dvou řádků
• Vynásobení řádku nenulovým číslem
• Přičtení násobku nějakého řádku k jinému řádku

Pokud vhodnými úpravami dokážu udělat někde nulový řádek, původní vektory jsou lineárně závislé (viz též Gaussova eliminace).

Řešení obyčejných diferenciálních rovnic

Obyčejná homogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty, anebo systém rovnic s konstantními koeficienty, se dá přepsat na maticovou rovnici $\scriptstyle \dot{x}=\mathbf{A}x$, kde $\scriptstyle x=x(t)$ je vektor neznámých a A je matice. Řešení je pak vektorový prostor generovaný sloupci matice dané maticovou funkcí $\scriptstyle \exp(\mathbf{A}t)$.

Další použití

V matematice a fyzice:

• Jacobiho matice
• Hessova matice
• Wronského matice

Ve statistice:

• Matice dat (zcela obecná tabulka popisující závislost jedné veličiny na druhé)
• Korelační matice
• Stochastická matice
• kontingenční tabulky

V kvantové mechanice:

• Zápis operátorů do matic
• Matice hustoty (popis smíšeného stavu systému)
• Pauliho matice

Operace s maticemi

Operace s maticemi se v některých bodech odlišují od operací s čísly.

• O dvou maticích $\scriptstyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ prohlásíme, že jsou si rovny, pokud mají stejný počet řádků i sloupců a každý prvek $\scriptstyle a_{ij}$ matice $\scriptstyle \mathbf{A}$ je roven odpovídajícímu prvku $\scriptstyle b_{ij}$ matice $\scriptstyle \mathbf{B}$. Rovnost matic $\scriptstyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ zapíšeme

$\mathbf{A} = \mathbf{B}$

• Vynásobíme-li matici $\scriptstyle \mathbf{A}$ komplexním číslem $\scriptstyle \lambda$, získáme novou matici $\scriptstyle \mathbf{B}$, jejíž prvky jsou $\scriptstyle \lambda$ násobky prvků matice $\scriptstyle \mathbf{A}$, tzn.

$b_{ij} = \lambda (a_{ij}) = (\lambda a_{ij}) \,$

Výsledná matice $\scriptstyle \mathbf{B}$ je tedy stejného typu jako původní matice $\scriptstyle \mathbf{A}$.

• Mějme dvě matice $\scriptstyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ typu $\scriptstyle m \times n$. Jako součet těchto matic označíme matici $\scriptstyle \mathbf{S}$ typu $\scriptstyle m \times n$

$\mathbf{S} = \mathbf{A} + \mathbf{B}$

Prvky matice $\scriptstyle \mathbf{S}$ jsou určeny vztahem

$s_{ij} = a_{ij} + b_{ij} \,$

Součet matic má smysl pouze pro matice stejného typu.

• Rozdíl dvou matic $\scriptstyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ (stejného typu $\scriptstyle m \times n$) je nová matice $\scriptstyle \mathbf{R}$ typu $\scriptstyle m \times n$

$\mathbf{R} = \mathbf{A} - \mathbf{B}$

Prvky matice $\scriptstyle \mathbf{R}$ jsou určeny vztahem

$r_{ij} = a_{ij} - b_{ij} \,$

Rozdíl matic $\scriptstyle \mathbf{A}$ a $\scriptstyle \mathbf{B}$ lze také chápat jako součet matice A a matice B vynásobené číslem -1. Rozdíl má tedy opět smysl pouze pro matice stejného typu.

• Obecně lze pro matice $\scriptstyle \mathbf{A}, \mathbf{B}, ...$, které jsou stejného typu, definovat lineární kombinaci matic

$\mathbf{L} = \lambda \mathbf{A} + \mu \mathbf{B} + ...$,

kde prvky matice $\scriptstyle \mathbf{L}$ určuje výraz

$l_{ij} = \lambda a_{ij} + \mu b_{ij} + ...$

• Máme-li matici A typu m×s a matici B typu s×n, pak jejich součinem je matice C typu m×n, který značíme

$\mathbf{C}=\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}$,

přičemž prvky matice C jsou určeny jako

$c_{ij} = \sum_{k=1}^{s} a_{ik} b_{kj}$

nebo

$c^i_j = \sum_{k=1}^{s} a^i_k b^k_j$.

Násobení matic je také označováno jako maticové násobení.

• Opakovaným násobením matice $\scriptstyle \mathbf{A}$ sama sebou lze vytvářet mocniny matic $\scriptstyle \mathbf{A}^k$. Tyto mocniny lze poté využít při zápisu polynomu

$P(\mathbf{A}) = c_0 + c_1 \mathbf{A} + c_2 \mathbf{A}^2 + ... + c_n \mathbf{A}^n$

Vlastnosti a základní pojmy

Algebraické vlastnosti prostorů matic

Obvykle se předpokládá, že prvky matice jsou z nějakého okruhu nebo tělesa. Označme jej $\scriptstyle K$ (obvykle $\scriptstyle K=\mathbb{R}$ nebo $\scriptstyle \mathbb{C}$). Množina všech čtvercových matic $\scriptstyle n\times n$ tvoří asociativní algebru, která se nazývá maticová algebra, značí se $\scriptstyle M(n,K)$, $\scriptstyle \mathrm{Mat}(n,K)$, nebo $\scriptstyle M^{n,n}$ a pod. Pro $\scriptstyle n>1$ je nekomutativní a její centrum je izomorfní $\scriptstyle K$ (je tvořeno násobky jedničkové matice). Je jednoduchá, t.j. nemá žádné netriviální oboustranné ideály. Navíc každá konečně rozměrná jednoduchá asociativní algebra (nad nějakým tělesem) je izomorfní maticové algebře. Každá volba báze $\scriptstyle n$-dimenzionálního prostoru $\scriptstyle V$ nám dává izomorfizmus $\scriptstyle \mathrm{Mat}(n)\simeq \mathrm{End}(V)$. Jediná irreducibilní reprezentace této asociativní algebry je její definující reprezentace na $\scriptstyle V$.

Matice je invertovatelná, právě když její determinant je nenulový (toto má smysl, i kdyby byly prvky matice z obecného komutativního okruhu, a analogické tvrzení lze zformulovat i v kvaternionových maticích).

Množina všech regulárních (t.j. invertovatelných) matic tvoří grupu, která se označuje $\scriptstyle GL(n,K)$. Pro $\scriptstyle K=\mathbb{C}, \mathbb{R}$ je reduktivní. Její jednoduchá podgrupa je grupa matic s jedničkovým determinantem $\scriptstyle SL(n,K)$.

Hodnost matice

Související informace naleznete v článku Hodnost matice.

Hodnost matice se dá definovat jako počet lineárně nezávislých řádků (předpokládáme, že prvky matice jsou prvky nějakého tělesa). Platí, že počet lineárně nezávislých sloupců matice je stejný jako počet lineárně nezávislých řádků.

Diagonála matice

Prvky $\scriptstyle a_{11}, a_{22}, a_{33}, ...$, leží na tzv. hlavní diagonále matice. Hlavní diagonála je tedy tvořena všemi prvky $\scriptstyle a_{ij}$, kde $\scriptstyle i = j$.

Prvky $\scriptstyle a_{1n}, a_{2,n-1}, a_{3,n-2}, ...$, leží na tzv. vedlejší diagonále. Vedlejší diagonála je tedy tvořena všemi prvky $\scriptstyle a_{ij}$, kde $\scriptstyle j = (n - i) + 1$.

Pokud se hovoří o diagonále matice, je tím obvykle myšlena hlavní diagonála.

Důvod dvojího značení

Matice se obvykle používají k zápisu lineárních zobrazení mezi vektorovými prostory. Předpokládejme, že matice $\scriptstyle A=(a^i_{\,\,j})$ přiřadí vektoru v, který má souřadnice (v nějaké bázi) $\scriptstyle v^j$ vektor, který má (v nějaké bázi cílového prostoru) souřadnice $\scriptstyle w^i=\sum_{j} a^i_{\,\,j} v^j$ (symbolicky Av=w).

Užíváme-li matice k operaci s vektory v Euklidovském prostoru, nebo kdykoliv se příslušný skalární součin chová stejně jako v Euklidovském prostoru a předpokládáme, že jediné změny souřadnicových systémů, které uvažujeme, jsou rotace a zrcadlení, pak není potřeba rozlišovat polohu indexů a řádkové a sloupcové vektory lze mezi sebou libovolně zaměňovat. Jakmile se však skalární součin chová jinak (např. Diracova notace v kvantové mechanice), anebo uvažujeme i jiné transformace souřadnic než rotace a zrcadlení, pak se při přechodu do jiných souřadnic typicky jinak transformují vektory jako duální vektory. Sloupce matice se chovají jako vektory, kdežto řádky matice jako duální vektory, neboli lineární formy. Ve fyzice se pak obvykle souřadnice vektorů píšou nahoru a souřadnice duálních vektorů dolů.

Tento koncept lze matematicky formalizovat, pokud řekneme, že matice je prvek prostoru $\scriptstyle \mathrm{End}(V,W)$ zapsán v nějakých bazích $\scriptstyle {v_i}, {w_j}$ prostorů $\scriptstyle V, W$. Protože ale $\scriptstyle \mathrm{End}(V,W)\simeq V^*\otimes W$, můžeme chápat matici jako tenzor typu (1,1) a u tenzorů se píšou kovariantní složky dolů a kontravariantní nahoru. Pak se matice bude při přechodu k novým souřadnicím v prostorech V a W transformovat „správně“.

Matice ale nereprezentují jen lineární zobrazení mezi vektorovými prostory. Do matice se taky dá zapsat bilineární forma, která dvěma vektorům přiřadí číslo. Pak to odpovídá tenzoru typu (0,2) a při přechodu do jiných souřadnic se transformuje jako tenzor typu (0,2). V tomto případě bychom prvky matice značili ($\scriptstyle a_{i,j}$) (oba indexy dolů).

Pokud však matice reprezentuje něco jiného (třeba systém lineárních rovnic, na který se nemusíme dívat jako na maticovou rovnici a nepotřebujeme vědět, jak se transformuje při změně souřadnic), pak nemá smysl horní a dolní indexy rozlišovat.

Druhy matic

Přehled některých typů matic
Nad $\scriptstyle \mathbb{C}$	Nad $\scriptstyle \mathbb{R}$	vlastnost
hermitovská	symetrická	$\scriptstyle \mathbf{A}^{H\mathrm{/}T} = \mathbf{A}$
unitární	ortogonální	$\scriptstyle \mathbf{A}^{H\mathrm{/}T} = \mathbf{A}^{-1}$
regulární (invertibilní)		$\scriptstyle \det \mathbf{A} \ne 0$

• Matice typu $\scriptstyle 1 \times n$ je tvořena jedním řádkem a bývá označována jako řádková matice.
• Matice typu $\scriptstyle n \times 1$ je tvořena jedním sloupcem a bývá označována jako sloupcová matice.
• Je-li $\scriptstyle n = m$, pak matici označujeme jako čtvercovou matici $\scriptstyle n$-tého řádu (stupně). Pro $\scriptstyle n \neq m$ bývá matice označována jako obdélníková.
• Pokud jsou všechny prvky matice nulové, tzn. $\scriptstyle a_{ij} = 0$ pro všechna $\scriptstyle i, j$, označujeme matici jako nulovou.
• Matici, která má nenulové prvky pouze na hlavní diagonále, tzn. $\scriptstyle a_{ij} = 0$ pro $\scriptstyle i \neq j$ a $\scriptstyle a_{ij} \neq 0$ pro $\scriptstyle i = j$, nazýváme diagonální maticí. Prvky diagonální matice $\scriptstyle \mathbf{D}$ lze vyjádřit pomocí Kroneckerova symbolu

$d_{ij} = \lambda_i \delta_{ij} \,$,

kde $\scriptstyle \lambda_i = d_{ii}\,$ jsou diagonální prvky matice. Pokud pro všechny diagonální prvky $\scriptstyle \lambda_i$ diagonální matice platí $\scriptstyle \lambda_i = 1 \,$, jedná se o jednotkovou matici $\scriptstyle \mathbf{E}$, pro jejíž prvky platí

$e_{ij} = \delta_{ij}$

• Matici, která má všechny prvky pod hlavní diagonálou nulové, označujeme jako horní trojúhelníkovou matici. Taková matice má tvar

$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}$

Podobně označujeme jako dolní trojúhelníkovou matici takovou matici, která má všechny prvky nad diagonálou nulové.

• Jsou-li $\scriptstyle m$ i $\scriptstyle n$ konečná čísla, označujeme matici jako konečnou.
• Matici, která vznikne z matice $\scriptstyle \mathbf{A}$ vzájemnou výměnou řádků a sloupců, označujeme jako transponovanou matici a značíme $\scriptstyle \mathbf{A}^T$. Pro jednotlivé prvky transponované matice platí

$a_{ij}^T = a_{ji} \,$

• Pokud je transponovaná matice shodná s původní maticí, tzn. $\scriptstyle \mathbf{A}^T = \mathbf{A}$, pak matici $\scriptstyle \mathbf{A}$ označujeme jako symetrickou. Pro prvky symetrické matice platí

$a_{ij} = a_{ji} \,$.

• Matici $\scriptstyle \mathbf{A}$ označujeme jako antisymetrickou, platí-li pro všechny prvky této matice vztah

$a_{ij} = -a_{ji} \,$.

• Pokud každý prvek $\scriptstyle a_{ij}$ matice $\scriptstyle \mathbf{A}$ nahradíme prvkem k němu komplexně sdruženým $\scriptstyle \bar{a}_{ij}$, pak získáme matici $\scriptstyle \bar{\mathbf{A}}$, kterou označujeme jako komplexně sdruženou matici.
• Pokud je matice komplexně sdružená rovna původní matici, tzn. $\scriptstyle \bar{\mathbf{A}} = \mathbf{A}$, pak matici $\scriptstyle \mathbf{A}$ nazýváme reálnou maticí.
• Provedeme-li na matici $\scriptstyle \mathbf{A}$ transpozici a komplexní sdružení, získáme matici hermiteovsky sdruženou (někdy též psáno "hermitovsky", podle Charlese Hermita). Hermiteovsky sdruženou matici značí různí autoři různě, zpravidla některým z následujících způsobů

$\bar{\mathbf{A}}^T = \mathbf{A}^H = \mathbf{A}^* = \mathbf{A}^+$

(poslední z možných zápisů se může snadno plést s tzv. Moore-Penroseovou pseudoinverzí matice)

• Pokud je hermiteovsky sdružená matice rovna původní matici, tzn. $\scriptstyle \mathbf{A}^H = \mathbf{A}$, říkáme, že matice $\scriptstyle \mathbf{A}$ je hermiteovská (též hermitovská, samosdružená nebo samoadjungovaná). Každá takováto matice má všechna vlastní čísla reálná. (důkaz indukcí s využitím základní věty algebry a Gram-Schmidtovy ortogonalizace)
• Matice $\scriptstyle \mathbf{B}$ je inverzní maticí k matici $\scriptstyle \mathbf{A}$, pokud platí

$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = \mathbf{B} \cdot \mathbf{A} = \mathbf{1}$,

kde $\scriptstyle \mathbf{1}$ je jednotková matice.

• Matici $\scriptstyle \mathbf{A}$, ke které existuje inverzní matice, označujeme jako regulární matici. Není-li matice regulární, pak ji označujeme jako singulární.
• Matici $\scriptstyle \mathbf{A}$ označujeme jako unitární, jestliže inverzní matice $\scriptstyle \mathbf{A}^{-1}$ je rovna matici hermiteovsky sdružené $\scriptstyle \mathbf{A}^H$, tzn.

$\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{A}^H$

• Adjungovaná matice k matici A je transponovaná matice algebraických doplňků matice A.

Odkazy

Související články

• Násobení matic
• Transpozice matic
• Hodnost matice
• Stopa matice
• Determinant
• Lineární algebra
• Soustava lineárních rovnic
• Maticová funkce
• Matice přechodu
• Jordanův rozklad

Externí odkazy

• Maticová kalkulačka
• Operace s maticemi v R (determinant, stopa, inverzní, adjungovaná, transponovaná)*
• Sčítání a násobení matic

Reference

• M. Zahradník, L. Motl: Pěstujeme lineární algebru
• Učebnice lineární algebry na webu (anglicky)
• Autar Kaw, Introduction to Matrix Algebra