Komplexně sdružené číslo

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
grafické znázornění kompl. sdružených čísel

V matematice se pojmem sdružené číslo komplexního čísla z=a+bi (kde a a b jsou reálná čísla) nazývá číslo \overline{z} = a - bi. Vznikne tedy změnou znaménka imaginární části. Většinou se označuje tak, jako v předchozím příkladě, tedy přidáním pruhu nad původní číslo, často také pomocí hvězdičky, například:
\overline{3-2i} = (3-2i)^* = 3 + 2i
\overline{i} = i^* = -i
\overline{7} = 7^* =7

Geometricky je sdružené číslo obrazem daného komplexního v osové souměrnosti podle reálné osy v Gaussově rovině.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Následující vlastnosti platí pro všechna komplexní čísla z a w, není-li uvedeno jinak.

\overline{z} = \overline{w}, právě když z=w
\overline{(\overline{z})} = z
\overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w}
\overline{zw} = \overline{z}\ \overline{w}
\overline{\left({\frac{z}{w}}\right)} = \frac{\overline{z}}{\overline{w}} pro w nenulové
\overline{z} = z právě když je z reálné číslo
\left| \overline{z} \right| = \left| z \right|
{\left| z \right|}^2 = z\overline{z}
z^{-1} = \frac{\overline{z}}{{\left| z \right|}^2} pro z nenulové

První čtyři vlastnosti znamenají, že unární operace sdružení je involutorní automorfismus tělesa komplexních čísel.

Komplexní sdružení matice[editovat | editovat zdroj]

Komplexním sdružením matice je formálně značeno takto

\overline {\;\cdot\;}: M_{n \times m}(\mathbb C) \to M_{n \times m}(\mathbb C)


takže dle dané matice A

A=(a_{ij}) \mapsto \overline A = (\overline {a_{ij}}).


Příklad[editovat | editovat zdroj]

A=\begin{bmatrix}
2+3i & 1-2i & -1+2i \\
0 & -2 & 3+2i \\
-i & 2-i & 2+i
\end{bmatrix} \mapsto \overline A = \begin{bmatrix}
2-3i & 1+2i & -1-2i \\
0 & -2 & 3-2i \\
i & 2+i & 2-i
\end{bmatrix}

Související články[editovat | editovat zdroj]