Imaginární jednotka

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Jako imaginární jednotka se v matematice označuje číslo značené i (někdy též j), které rozšiřuje obor reálných čísel \mathbb{R} na obor čísel komplexních \mathbb{C}. Po tomto rozšíření existuje řešení libovolné polynomiální rovnice f(x) = 0.

V reálných číslech některé takové rovnice řešení nemají, konkrétně např. rovnice x² + 1 = 0. Pokud je k množině reálných čísel přidán nový prvek i, který tuto rovnici řeší, algebraickým uzávěrem takto vzniklé množiny je právě množina komplexních čísel, ve kterých má řešení už každá polynomiální rovnice.

V oboru elektrotechnika je často fiktivní jednotka označována jako j místo i, protože i se běžně používá pro označení elektrického proudu

Definice[editovat | editovat zdroj]

Podle definice imaginární jednotka i je řešením rovnice

x2 = −1

Operace s reálnými čísly lze rozšířit na imaginární a komplexní čísla tak, že při manipulaci s výrazem zacházíme s i jako s neznámou veličinou a použijeme tuto definici k tomu, abychom nahradili všechny výskyty i2 číslem −1.

i a −i[editovat | editovat zdroj]

Výše uvedená rovnice má ve skutečnosti dvě různá řešení která jsou aditivně inverzní. Přesněji, pokud řekneme, že řešením rovnice je i, je také řešením této rovnice −i (≠ i). Protože výše uvedená rovnice je jedinou definicí i, je zřejmé, že tato definice je nejednoznačná. Tuto nejednoznačnost odstraníme tak, že vybereme a zafixujeme jako řešení výše uvedené rovnice „pozitivní i“.

Upozornění[editovat | editovat zdroj]

Imaginární jednotka se někdy zapisuje jako \sqrt{-1}, ale je třeba dát pozor při manipulaci s těmito odmocninami. Při aplikaci pravidel platících pro odmocniny z kladných reálných čísel na celý obor reálných čísel můžeme dostat špatný výsledek :

-1 = i \cdot i = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{-1 \cdot -1} = \sqrt{1} = 1

Kalkulační pravidlo

\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}

je platné pouze pro reálné, nezáporné hodnoty a a b.

Abychom se vyhnuli chybám při manipulaci s komplexními čísly, je lépe nepoužívat záporná čísla pod odmocninou.

Mocniny i[editovat | editovat zdroj]

Mocniny i se cyklicky opakují:

i^0 = 1
i^1 = i
i^2 = -1
i^3 = -i
i^4 = 1
i^5 = i
i^6 = -1

To lze vyjádřit matematickým vzorcem, kde n je libovolné celé číslo:

i^{4n} = 1
i^{4n+1} = i
i^{4n+2} = -1
i^{4n+3} = -i

i a Eulerův vzorec[editovat | editovat zdroj]

Vezmeme Eulerův vzorec e^{ix} = \cos x + i\sin x, a po dosazení \pi/2 za x, dostaneme

e^{i\pi/2} = i

Jestliže obě strany umocníme na i, a využijeme i^2 = -1, získáme následující rovnost:

i^i = e^{-\pi/2} = 0.2078795763\dots

Ve skutečnosti je snadné určit, že i^i má nekonečný počet řešení ve tvaru

i^i = e^{-\pi/2 + 2\pi N}

Z výše uvedené identity

e^{i\pi/2} = i

lze odvodit Eulerovu identitu

e^{i\pi} + 1 = 0,

V Gaussově rovině imaginární jednotku představuje číslo [0;1].

Každé komplexní číslo lze zapsat (v tzv. algebraickém tvaru) ve tvaru a + ib, kde a a b jsou reálná čísla

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]