Pauliho matice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Pauliho matice jsou množina 2 × 2 komplexních hermiteovských a unitárních matic. Obvykle jsou označovány řeckým písmenem 'sigma' (σ), popř. se používá 'tau' (τ), pokud jsou uváděny ve spojitosti s izospinem. Matice mají tvar:


\sigma_1 = \sigma_x =
\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix}

\sigma_2 = \sigma_y =
\begin{pmatrix}
0&-i\\
i&0
\end{pmatrix}

\sigma_3 = \sigma_z =
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&-1
\end{pmatrix}

Nesou jméno Wolfganga Pauliho.

Algebraické vlastnosti[editovat | editovat zdroj]


\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = \begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix} = I

kde I označuje jednotkovou matici.

\begin{matrix}
\det (\sigma_i) &=& -1 & \\[1ex]
\operatorname{Tr} (\sigma_i) &=& 0 & \quad \hbox{ pro }\ i = 1, 2, 3
\end{matrix}

Z předchozího lze odvodit, že vlastní hodnoty každé σi jsou ±1.

  • Společně s jednotkovou maticí I, která bývá někdy zapisována jako σ0, tvoří Pauliho matice ortogonální bázi.

Komutační relace[editovat | editovat zdroj]

Pauliho matice vyhovují následujícím komutačním a antikomutačním relacím:

\begin{matrix}
[\sigma_i, \sigma_j]     &=& 2 i\,\varepsilon_{i j k}\,\sigma_k \\[1ex]
\{\sigma_i, \sigma_j\} &=& 2 \delta_{i j} \cdot I
\end{matrix}

kde \varepsilon_{ijk} je Levi-Civitův symbol, \delta_{ij} je Kroneckerovo delta a I je jednotková matice.

Předchozí dvě relace lze vyjádřit ve tvaru:

\sigma_i \sigma_j = \delta_{ij} \cdot I + i \varepsilon_{ijk} \sigma_k \,.

Např.

\begin{matrix}
\sigma_1\sigma_2 &=& i\sigma_3,\\
\sigma_2\sigma_3 &=& i\sigma_1,\\
\sigma_2\sigma_1 &=& -i\sigma_3,\\
\sigma_1\sigma_1 &=& I.\\
\end{matrix}

Fyzika[editovat | editovat zdroj]

  • Pro částice se spinem ½ je operátor spinu určen jako \mathbf{J} =\frac\hbar2\boldsymbol{\sigma}. Pauliho matice mohou být zobecněny k popisu částic s vyššími hodnotami spinu ve třírozměrném prostoru. Spinové matice pro spin 1 a \frac{3}{2} mají tvar:

j=1:


J_x = \frac\hbar\sqrt{2}
\begin{pmatrix}
0&1&0\\
1&0&1\\
0&1&0
\end{pmatrix}

J_y = \frac\hbar\sqrt{2}
\begin{pmatrix}
0&-i&0\\
i&0&-i\\
0&i&0
\end{pmatrix}

J_z = \hbar
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&0&0\\
0&0&-1
\end{pmatrix}

j=\frac{3}{2}:


J_x = \frac\hbar2
\begin{pmatrix}
0&\sqrt{3}&0&0\\
\sqrt{3}&0&2&0\\
0&2&0&\sqrt{3}\\
0&0&\sqrt{3}&0
\end{pmatrix}

J_y = \frac\hbar2
\begin{pmatrix}
0&-i\sqrt{3}&0&0\\
i\sqrt{3}&0&-2i&0\\
0&2i&0&-i\sqrt{3}\\
0&0&i\sqrt{3}&0
\end{pmatrix}

J_z = \frac\hbar2
\begin{pmatrix}
3&0&0&0\\
0&1&0&0\\
0&0&-1&0\\
0&0&0&-3
\end{pmatrix}

Zdroj[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Pauli matrices na anglické Wikipedii.

Související články[editovat | editovat zdroj]