Diagonalizovatelná matice

V lineární algebře se čtvercové matici A říká diagonizovatelná, pokud je podobná diagonální matici D, tzn. pokud platí $A = R^{-1} \cdot D \cdot R$, kde R je regulární matice. Pokud V je konečně dimenzionální vektorový prostor, pak lineární zobrazení T : V → V se nazývá diagonizovatelné, pokud existuje báze V, vzhledem ke které je T reprezentováno diagonální maticí. Diagonalizace je proces hledání odpovídající diagonální matice pro diagonizovatelnou matici nebo pro lineární zobrazení.

Diagonizovatelné matice a zobrazení jsou předmětem zájmu proto, že s diagonálními maticemi se velmi snadno pracuje: jejich vlastní čísla a vlastní vektory jsou zřejmé a umocňování diagonální matice je také snadné, protože stačí umocnit jednotlivé prvky na diagonále matice.

Jak diagonalizovat matici

Uvažme matici:

$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 2 & -4 & 2 \end{bmatrix}.$

Matice má vlastní čísla:

$\lambda_1 = 3, \quad \lambda_2 = 2, \quad \lambda_3= 1.$

Matice A je matice 3. stupně a má 3 různá vlastní čísla, tedy je diagonalizovatelná.

Pokud chceme diagonalizovat matici A, je nutné spočítat odpovídající vlastní vektory. Jsou to:

$v_1 = \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}, \quad v_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad v_3 = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}.$

Jednoduchou kontrolou je: $A v_k = \lambda_k v_k$

Nyní vytvořme matici P z vlastních vektorů tak, že si vlastní vektory napíšeme do sloupců:

$P= \begin{bmatrix} -1 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \end{bmatrix}.$

Pak P diagonalizuje A, což lze jednoduše ověřit výpočtem:

$P^{-1}AP = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 2 & -4 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}.$

Poznamenejme, že vlastní čísla $\lambda_k$ jsou prvky na diagonále matice.