Schurův rozklad

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

V numerické lineární algebře se velmi často využívá Schurova rozkladu matice A \in \mathbb{C}^{n \times n}, především k výpočtu vlastních čísel matice.

Schurův rozklad obecné matice[editovat | editovat zdroj]

Jedná se o rozklad tvaru \displaystyle A=QRQ^*, kde \displaystyle Q je unitární matice a \displaystyle R je horní trojúhelníková matice. Tato matice má na diagonále vlastní čísla matice \displaystyle A.

Schurův rozklad normální matice[editovat | editovat zdroj]

Je-li navíc matice \displaystyle A normální, tj. \displaystyle AA^*=A^*A (speciálně je-li matice \displaystyle A symetrická, hermitovská, antisymetrická, antihermitovská, ortogonální, nebo unitární), pak

\begin{array}{rl}
(QRQ^*)(QRQ^*)^* &= (QRQ^*)^*(QRQ^*), \\
(QRQ^*)(QR^*Q^*) &= (QR^*Q^*)(QRQ^*), \\
QRR^*Q^* &= QR^*RQ^*, \\
RR^* &= R^*R,
\end{array}

je také matice \displaystyle R normální. Porovnáním (diagonálních) prvků matic \displaystyle RR^* a \displaystyle R^*R zjistíme, že matice \displaystyle R je diagonální.

Porovnáním prvních prvků prvního řádku rovnosti

 [RR^*]_{1,1} = |r_{1,1}|^2+\sum_{j=2}^n|r_{1,j}|^2 = |r_{1,1}|^2 = [R^*R]_{1,1},

dostaneme \displaystyle r_{1,j}=0, \displaystyle j=2,\ldots,n. Analogicky postupujeme dále.

Schurova věta[editovat | editovat zdroj]

Pro libovolnou matici \displaystyle A \in \mathbb{C}^{n \times n} existuje unitární matice \displaystyle Q tak, že \displaystyle R=Q^*AQ je horní trojúhelníková matice s vlastními čísly matice \displaystyle A na diagonále v libovoném předepsaném pořadí. Je-li navíc matice \displaystyle A normální, je matice R diagonální.

Výpočet[editovat | editovat zdroj]

K výpočtu Schurova rozkladu se využívá QR algoritmu, který je založen na QR rozkladu. Avšak pro matici řádu většího nebo rovno 5 nelze obecně spočíst tento rozklad v konečném počtu kroků.