Distribuce (matematika)

Distribuce v matematice se jedná o spojitý funkcionál, který zobrazuje z prostoru nekonečně diferencovatelných rychle klesajících funkcí na $C^n$ do množiny komplexních čísel.

Distribuce si tedy vezme funkci a vrátí číslo.

Nejznámějším příkladem distribuce je delta funkce, která je definována takto:

$\delta (\phi)=\phi(0)$

Delta funkce je hojně využívána ve fyzice a teorii lineárních diferenciálních rovnic. Představuje totiž nábojovou hustotu jednotkového bodového náboje, respektive hustotu jednotkového hmotného bodu.

Distribuce lze v jistém smyslu chápat jako zobecněné funkce. Pomalu rostoucí funkce f lze totiž ztotožnit s distribucí $D_f$ tímto předpisem:

$D_f(\phi)=\int_{R^n} f(x) \phi(x) dx$

Distribuce je možno vzájemně sčítat, odčítat, násobit pomalu rostoucí funkcí, derivovat. Stejně tak je možno počítat např. Fourierovu transformaci distribuce.

Jak již bylo řečeno, distribuce jsou zobecněné funkce. Při tomto zobecnění jsme se bohužel museli vzdát jedné podstatné věci, funkční hodnoty. Nelze tedy říci že distribuce má v určitém bodě určitou hodnotu.

Jako příklad např. uveďme několik distributivních derivací funkce $f(x)=|x|$ , kterou chápeme jako distribuci, jak je uvedeno výše. $f'(x)=\sgn x$