Moment hybnosti

Moment hybnosti je vektorová fyzikální veličina, která popisuje rotační pohyb tělesa.

Moment hybnosti se určuje vzhledem k bodu nebo ose.

Moment hybnosti bývá také označován jako kinetický moment, impulsmoment nebo točivost.

Značení

• Symbol veličiny: $\mathbf{L}$ , někdy také b (vektor)
• Jednotka SI: kilogram krát metr na druhou za sekundu, značka jednotky: kg.m².s^-1

Definice

Moment hybnosti (L), moment síly (τ=M), a hybnost(p).

Moment hybnosti $\mathbf{L}$ hmotného bodu vzhledem k počátku soustavy souřadnic je určen vektorovým součinem jeho průvodiče $\mathbf{r}$ a hybnosti $\mathbf{p}$,

$\mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p}$.

Vztah k momentu síly

Vyjdeme-li ze vztahu $\mathbf{M} = \mathbf{r}\times\mathbf{F}$ pro moment síly, pak lze provést následující úpravu

$\mathbf{M} = \mathbf{r}\times\mathbf{F} = \mathbf{r}\times\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t} = \left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\times m\mathbf{v}\right) + \left(\mathbf{r}\times\frac{\mathrm{d}(m\mathbf{v})}{\mathrm{d}t}\right) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\mathbf{r}\times m\mathbf{v}) = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}$,

kde $\mathbf{r}$ je polohový vektor, $\mathbf{v}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}$ je rychlost, $m$ je hmotnost (hmotného bodu), $\mathbf{M}$ je moment síly a $\mathbf{L}$ je moment hybnosti, přičemž bylo využito skutečnosti, že vektorový součin $\mathbf{v}\times m\mathbf{v}$ je roven nule (tj. můžeme tento výraz k rovnici bez obav přičíst - výraz   $\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\times m\mathbf{v}\right)$).

Předchozí vztah lze slovně popsat tak, že změna momentu hybnosti vzhledem k danému bodu $O$ je co do velikosti i směru rovna momentu síly (vzhledem k témuž bodu), který na hmotný bod působí.

V soustavě hmotných bodů platí pro $i$-tý hmotný bod podle vztah $\mathbf{M}_i=\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_i}{\mathrm{d}t}$. Z vlastností momentu síly pak plyne

$\mathbf{M} = \sum_{i=1}^n \mathbf{M}_i = \sum_{i=1}^n \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_i}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \sum_{i=1}^n \mathbf{L}_i = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}$,

kde $\mathbf{L} = \sum_{i=1}^n \mathbf{L}_i$ představuje celkový moment hybnosti.

Vztah k plošné rychlosti

S využitím druhého Keplerova zákona lze vyjádřit vztah mezi plošnou rychlostí $\mathbf{w}$ a momentem hybnosti jako

$\mathbf{L} = 2m\mathbf{w}$

Vztah k mometu setrvačnosti

Při kruhovém pohybu lze rychlost vyjádřit jako $\mathbf{v} = \mathbf{\omega}\times\mathbf{r}$. Moment hybnosti soustavy $n$ hmotných bodů vzhledem k těžišti lze pak vyjádřit vztahem

$\mathbf{L} = \sum_{i=1}^n \left[\mathbf{r}_i\times m_i(\mathbf{\omega}\times\mathbf{r}_i)\right]$

kde $\mathbf{r}_i$ označuje polohu $i$-tého hmotného bodu s hmotností $m_i$ vzhledem k těžišti a $\mathbf{\omega}$ je úhlová rychlost pohybu tělesa kolem osy rotace jdoucí těžištěm.

Použitím dvojitého vektorového součinu dostaneme

$\mathbf{L} = \sum_{i=1}^n m_i\left[r_i^2\mathbf{\omega} - (\mathbf{\omega}\cdot\mathbf{r}_i)\mathbf{r}_i\right]$

Točivost tělesa vzhledem k těžišti má tedy dvě složky. První má směr úhlové rychlosti, tedy směr osy rotace, druhá má ale jiný směr. Točivost tedy obecně nemá směr rotační osy. Označíme-li složky úhlové rychlosti $\mathbf{\omega}$ vzhledem k libovolné soustavě souřadnic s počátkem v těžišti a pevně spojené s tělesem jako $\omega_x, \omega_y, \omega_z$ a složky průvodiče $\mathbf{r}_i$ jako $x_i, y_i, z_i$, můžeme předchozí vztah rozepsat do složek. Z vyjádření momentu setrvačnosti $J$ pak lze získat

$L_x = \omega_x J_x - \omega_y D_{xy} - \omega_z D_{zx}$

$L_y = \omega_y J_y - \omega_z D_{yz} - \omega_x D_{xy}$

$L_z = \omega_z J_z - \omega_x D_{zx} - \omega_y D_{yz}$

kde $J_i$ jsou momenty setrvačnosti k $i$-té ose a $D_{ij}$ jsou deviační momenty.

Pokud vztáhneme složky točivosti k soustavě souřadnic totožné s hlavními osami centrálního elipsoidu setrvačnosti, deviační momenty vymizí, a složky točivosti vzhledem k hlavním osám budou

$L_1 = J_1 \omega_1$

$L_2 = J_2 \omega_2$

$L_3 = J_3 \omega_3$

Pokud se těleso otáčí kolem osy, která je totožná s jednou z hlavních os setrvačnosti nebo kolem pevné osy, jsou složky úhlové rychlosti k osám kolmým k rotační ose nulové a točivost lze zapsat jako

$\mathbf{L} = J\mathbf{\omega}$

Moment setrvačnosti je možno brát jako symetrický tenzor druhého řádu podle formule

$L_{\kappa\lambda}=\sum_{i=1}^n m_i \left[r_i^2 \delta_{\kappa\lambda}-r_\kappa r_\lambda\right]$

(řecké indexy označují tři složky tenzorů, symbol $\delta_{\kappa\lambda}$ označuje Kroneckerovo delta ). Moment hybnosti tělesa je potom možno vyjádřit ve tvaru

$M_{\kappa} = \sum_{\lambda=1}^3 L_{\kappa\lambda} \omega_{\lambda}$

a rotační energii tělesa ve tvaru

$E = \frac{1}{2}\sum_{\kappa,\lambda=1}^{3} L_{\kappa\lambda} \omega_{\kappa} \omega_{\lambda}$

Moment hybnosti tedy nemusí být nutně rovnoběžný s osou rotace, ale pokud nepůsobí vnější síla, zachovává svou velikost a směr. Naopak okamžitá osa rotace může vykonávat složitý precesní pohyb.

Rotační impuls

Pro časový účinek momentu síly můžeme v analogii s impulsem síly získat vztah pro rotační impuls $\mathbf{b}$

$\mathbf{L} - \mathbf{L}_0 = \int_{t_0}^t \mathbf{M}\mathrm{d}t = \mathbf{b}$

Pokud je silový moment $\mathbf{M}$ po celou dobu působení stálý, je možné předchozí výraz zjednodušit na tvar

$\mathbf{L}-\mathbf{L}_0 = \mathbf{M}(t-t_0)$

Vlastnosti

Moment hybnosti má při rotačním pohybu podobný význam jako hybnost při pohybu přímočarém. Tak jako je hybnost součinem hmotnosti a rychlosti v případě translačního pohybu, tak je moment hybnosti (tenzorovým) součinem momentu setrvačnosti a úhlové rychlosti v případě rotačního pohybu.

Pro celkový moment hybnosti izolované soustavy platí jeden z nejdůležitějších fyzikálních zákonů, zákon zachování momentu hybnosti. Pokud je celkový moment vnějších sil působících na soustavu nulový, tak se její celkový moment hybnosti zachovává. Platí například pro pohyb v poli centrální síly, jako v případě planet obíhajících okolo Slunce (2. Keplerův zákon).

Součet momentů hybnosti vnitřních sil

Součet momentů hybnosti vnitřních sil v tuhém tělese je roven nule, protože:

1. Dva body na sebe působí silou přitažlivou nebo odpudivou (tzn. má směr shodný se směrem jejich spojnice)

2. Působí-li bod A na bod B, pak bod B působí na bod A silou stejně velikou, ale opačně orientovanou

Uvažme tedy vzoreček pro moment sil: $\mathbf{M}_i$ je moment hybnosti $i$-tého bodu. Mezi $i$-tým a $j$-tým bodem působí síla $\mathbf{F}_{i,j}=-\mathbf{F}_{j,i}$. Celkový moment hybnosti vnitřních sil je $\sum \mathbf{M}_i=\sum_i \mathbf{r}_i \times \sum_j \mathbf{F}_{i,j}=\sum_i \sum_j \mathbf{r}_i\times \mathbf{F}_{i,j}$. Uvažujme nyní pouze interakci $i$-tého a $j$-tého bodu: $\mathbf{r}_i \times \mathbf{F}_{i,j}+\mathbf{r}_j \times \mathbf{F}_{j,i}=\mathbf{r}_i \times \mathbf{F}_{i,j}-\mathbf{r}_j \times \mathbf{F}_{i,j}=(\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j) \times \mathbf{F}_{i,j}$,

kde $\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j$ je spojnice $i$-tého a $j$-tého bodu. Dle prvního předpokladu na sebe tyto body působí silou, která je s jejich spojnicí rovnoběžná. A jak známo, vektorový součin rovnoběžných vektorů je roven nule.

Moment hybnosti v kvantové mechanice

V kvantové mechanice je moment hybnosti vždy kvantován. Výsledkem měření jedné komponenty momentu hybnosti (impulsmomentu) můžou být pouze násobky redukované Planckovy konstanty. Kvantován je i kvadrát momentu hybnosti.

Zcela novou vlastností je spin částic, vnitřní moment hybnosti určité částice. Na rozdíl od orbitálního impulsmomentu, který byl zmíněn výše může nabývat komponenta spinu i poločíselných hodnot.

Při zavedení kvantového impulsmomentu vyjdeme z principu korespondence, kvantový impulsmoment je tedy definován takto:

$\bold{\hat{L}}=\bold{\hat{r}} \times {\hat{p}}$

Z komutačních relací pro souřadnici a impuls $[\hat{X}_k,\hat{P}_l]=i \hbar \delta_{kl}$ lze odvodit komutační relace pro impulsmoment:

$[\hat{L}_k,\hat{L}_l]=i \hbar \varepsilon_{kln}\hat{L}_n$

Z těchto komutačních relací již plyne kvantování impulsmomentu. Pro vlastní vektory kvadrátu impulsmomentu a jeho třetí komponenty platí:

$\bold{\hat{L}^2}|lm\rangle=\hbar^2 l(l+1)|lm\rangle$

$\hat{L}_3|lm\rangle=\hbar m |lm\rangle$

Kde l je nezáporné celé nebo polocelé číslo. Pro určitou hodnotu l může kvantové číslo m nabývat pouze hodnot -l,-l+1,...,l-1,l, tedy celkem 2l+1 hodnot.

Související články

• Hybnost
• Moment setrvačnosti
• Zákon zachování momentu hybnosti
• Rotační pohyb