Kroneckerovo delta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Kroneckerovo delta je matematická funkce dvou proměnných, obvykle celých čísel. Je pojmenovaná po Leopoldu Kroneckerovi (1823-1891). Tato funkce se rovná 1, když se proměnné rovnají, a 0 v ostatních případech. Tak například \delta_{12} = 0, ale \delta_{33} = 1. Zapisuje se symbolem pomocí řeckého písmene delta: δij, a je pokládáno spíše za zkrácený zápis než za funkci.

\delta_{ij} = \left\{\begin{matrix} 
1 & \mbox{je-li } i=j \\ 
0 & \mbox{je-li } i \ne j \end{matrix}\right.

nebo, při použití Iversonových závorek:

\delta_{ij} = [i=j]\,

Vlastnosti delta funkce[editovat | editovat zdroj]

Kroneckerovo delta má tzv. sítové vlastnosti, totiž pro j\in\mathbb Z:

\sum_{i=-\infty}^\infty \delta_{ij} a_i=a_j.

Tato vlastnost se podobá jedné z hlavních vlastností Diracovy delta funkce:

\int_{-\infty}^\infty \delta(x-y)f(x) dx=f(y),

a ve skutečnosti byla Diracova delta funkce pojmenována podle Kroneckerova delta, protože má analogické vlastnosti. Kroneckerovo delta se používá v mnoha oblastech matematiky. Například v lineární algebře lze jednotkovou matici napsat jako \delta_{ij}\, zatímco tenzor, Kroneckerův tenzor, lze napsat \delta^j_i s kontravariantním indexem j. To je přesnější způsob zápisu jednotkové matice, považované za lineární zobrazení.

Zobecnění delta funkce[editovat | editovat zdroj]

Ve stejném duchu můžeme analogicky definovat vícedimenzionální funkci mnoha proměnných

\delta^{j_1,j_2,\ldots,j_n}_{i_1,i_2,\ldots,i_n}:= \prod_{k=1}^n \delta_{i_k,j_k}.

Tato funkce nabývá hodnotu 1 tehdy a jen tehdy, když všechny horní indexy jsou stejné jako dolní indexy, a nabývá hodnotu nula ve všech ostatních případech.

Kroneckerovo delta jako tenzor[editovat | editovat zdroj]

V diferenciální nebo Riemannově geometrii se využívá obecnější zavedení Kroneckerova delta - zavádí se jako tenzor druhého řádu, který je na varietě M definován jako

\delta^{\underline{m}}_{\underline{n}} = 
\delta^i_j \ \boldsymbol{\mathrm{d}}_{\underline{n}}x^j 
\otimes \frac{\boldsymbol{\partial}^{\underline{m}}}{\boldsymbol{\partial} x^i},

nebo v souřadnicovém zápisu jen jako \delta^i_j tak, že \delta^i_j = 1 je-li i=j\, a \delta^i_j = 0 jinak. Takto zavedený objekt se chová jako tenzor a jeho hodnota je stejná ve všech soustavách souřadnic. Pokud indexy \delta snížíme, nebo zvýšíme, může být hodnota \delta^{ij}, resp. \delta_{ij}, obecně jiná.

Související články[editovat | editovat zdroj]