Hamiltonův operátor

Hamiltonův operátor neboli hamiltonián je operátor energie v kvantové mechanice. Je pojmenován po siru W. R. Hamiltonovi a značí se $\hat H$. Matematicky jde o hermitovský diferenciální operátor nad Hilbertovým prostorem komplexních vlnových funkcí. Zapisujeme jej jako

$\hat H = i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\,,$

kde $i$ je imaginární jednotka, $\hbar$ je redukovaná Planckova konstanta, zlomek označuje parciální derivaci podle času.

Odvození klasického tvaru

Celková mechanická energie je součet kinetické a potenciální energie. Operátor kinetické energie získáme dosazením operátoru hybnosti ($\hat{\mathbf{p}}=-i\hbar\nabla$) do klasického vztahu $T = \frac12 m\mathbf{v}^2 = \frac{\mathbf{p}^2}{2m}$. Hamiltonián pak můžeme zapisovat výhodně ve tvaru

$\hat H = -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta + V\,,$

kde $m$ je hmotnost částice, $\Delta$ je Laplaceův operátor (součet druhých derivací podle prostorových souřadnic) a $V=V({\mathbf r},t)$ je potenciální energie silového pole, v němž se částice pohybuje. Hamiltonián v této podobě je klíčovou součástí Schrödingerovy rovnice. Ta popisuje vývoj vlnové funkce v čase, který interpretujeme jako pohyb částice, jde tedy o kvantovou rovnici pohybu.

Spektrum

Spektrum Hamiltoniánu vyjadřuje možné hodnoty energie částice. Například pro elektron v elektrickém poli protonu známe průběh potenciální energie z Coulombova zákona. Hamiltonián má tedy tvar

$\hat H = -\frac{\hbar^2}{2m_e}\Delta - \frac1{4\pi\varepsilon_0} \frac{e^2}{r} \,,$

kde $m_e$ je hmotnost elektronu, $e$ je elektrický náboj elektronu, $\pi$ je Ludolfovo číslo, $\varepsilon_0$ je permitivita vakua a $r$ je vzdálenost od protonu. Spektrum tohoto operátoru dává možné energie

$E_n = - \frac1{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{2a_B}\frac1{n^2}\,,$

kde $a_B$ je tzv. Bohrův poloměr ($0,53.10^{-10} \mathrm{m}$) a $n$ je kvantové číslo. Rozdíly mezi těmito hladinami přesně odpovídají pozorovanému absorpčnímu spektru nejjednoduššího prvku v přírodě - vodíku. Záporné znaménko energie odpovídá vázanému stavu - na ionizaci atomu vodíku v základním stavu je třeba dodat kladnou energii $E_1 = 2,179.10^{{-18}}\mathrm{J}$.

Relativistická verze

Schrödingerova rovnice s výše uvedeným výrazem pro Hamiltonián není invariantní vůči Lorentzově transformaci, takže je nesprávná z hlediska teorie relativity. V relativistické mechanice je výraz pro energii složitější, takže musí být modifikován i Hamiltonián. Jeden z možných přístupů k tomuto zpřesnění lze nalézt v hesle Diracova rovnice, kde je i relativisticky opravený výraz pro Hamiltonián.

$\hat H = \,\gamma_0 m + \sum_{j = 1}^3 \gamma_j p_j \, ,$

kde $p_j$ jsou souřadnice vektoru hybnosti a $\gamma_i$ jsou vhodně zvolené matice. V Diracově (standardní) reprezentaci jsou to matice

$\gamma^0=\begin{pmatrix}I & 0\\0&-I\end{pmatrix}\,,$

$\gamma^{i}=\begin{pmatrix}0 & {\sigma}_{i}\\-{\sigma}_{i}&0\end{pmatrix}\,.$

${\sigma}_{i}$ jsou přitom Pauliho matice a $I$ značí jednotkovou matici 2 x 2.

Komutování s jinými operátory

Související informace naleznete v článku Komutátor (algebra).

Vodíkový hamiltonián (nebo hamiltonián vodíku podobného atomu, tzn. s jedním elektronem) uvedený výše komutuje s operátory kvadrátu momentu hybnosti L² a každou jeho složkou. Jednotlivé složky momentu hybnosti ale nekomutují mezi sebou, proto je řešení atomů určeno třemi kvantovými čísly.

Víceelektronové atomy mají hamiltonián skládající se z několika jednoelektronových a dále pak z členů odpovídající vzájemné coulombické interakci mezi jednotlivými elektrony. Např. Lithium má hamiltonián

$\hat H = \left (-\frac{\hbar^2}{2m_e}\Delta_1 - \frac1{4\pi\varepsilon_0} \frac{e^2}{r_1} \right ) + \left ( -\frac{\hbar^2}{2m_e}\Delta_2 - \frac1{4\pi\varepsilon_0} \frac{e^2}{r_2} \right ) + \left ( -\frac{\hbar^2}{2m_e}\Delta_2 - \frac1{4\pi\varepsilon_0} \frac{e^2}{r_2} \right ) + \frac1{4\pi\varepsilon_0} \frac{e^2}{r_{12}} + \frac1{4\pi\varepsilon_0} \frac{e^2}{r_{13}} + \frac1{4\pi\varepsilon_0} \frac{e^2}{r_{23}}$.

S tímto hamiltoniánem komutují operátory orbitálního momentu hybnosti L=L₁+L₂+L₃ (což plyne z vyjádření $\hat{\overrightarrow L} = \hat{\overrightarrow r} \times \hat{\overrightarrow p}$ a z toho, že $\overrightarrow r \times \overrightarrow n = \overrightarrow 0$) i L_z=L_z1+L_z2+L_z3, opět máme tedy tři kvantová čísla.

Dále Hamiltonián často komutuje s operátory spinů nebo prohození částic.

Související články

• Hamiltonova funkce