Spin

Spin je kvantová vlastnost elementárních částic, jejíž ekvivalent klasická fyzika nezná. Jde o vnitřní moment hybnosti částice v tom smyslu, že spiny částic přispívají k celkovému momentu hybnosti soustavy. Jeho velikost je pro každou částici přesně daná, nelze ji nijak měnit. Může nabývat celých nebo polocelých násobků redukované Planckovy konstanty $\hbar\dot=1,05.10^{-34}\,\rm Js$. Hodnoty spinu proto značíme např. 0, 1/2, 1, 3/2, …

Částice podle velikosti spinu rozdělujeme na

• fermiony - poločíselný spin (1/2, 3/2, …), např. elektron, proton, neutron
• bosony - celočíselný spin (0, 1, 2, …), např foton, bosony W a Z, alfa částice, …

Operátory

Operátor celkového spinu se označuje S, operátory projekce spinu do jednotlivých os pak S_x, S_y a S_z, nebo také S_i. Splňují komutační relaci

$[S_i, S_j ] = i \hbar \epsilon_{ijk} S_k$.

$\epsilon_{ijk}$ je Levi-Civitův symbol. Obdobně, jako u momentu hybnosti, pro vlastní čísla S² a S_i platí

$S^2 |s, m\rangle = \hbar^2 s(s + 1) |s, m\rangle$

$S_i |s, m\rangle = \hbar m |s, m\rangle.$

Dále jsou definovány zvyšující a snižující operátory jako $S_\pm = S_x \pm i S_y$. Lze ukázat, že platí

$S_\pm |s, m\rangle = \hbar\sqrt{(s(s+1)-m\pm 1)} |s, m\pm 1\rangle$

Operátory projekce spinu lze ralizovat např. maticově. Uvážíme-li spin $1/2$, pak lze reprezentovat

$|+ \frac{1}{2}_x\rangle = \frac{1}{\sqrt 2}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ a $|- \frac{1}{2}_x\rangle = \frac{1}{\sqrt 2}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$,

$|+ \frac{1}{2}_y\rangle = \frac{1}{\sqrt 2}\begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix}$ a $|- \frac{1}{2}x\rangle = \frac{1}{\sqrt 2}\begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix}$ a

$|+ \frac{1}{2}_y\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ a $|- \frac{1}{2}_x\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

a

$S_x = \frac{\hbar}{2}\sigma_x = \frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 0 && 1 \\ 1 && 0 \end{pmatrix}$,

$S_y = \frac{\hbar}{2}\sigma_y =\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 0 && -i \\ i && 0 \end{pmatrix}$ a

$S_z = \frac{\hbar}{2}\sigma_z =\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 1 && 0 \\ 0 && -1 \end{pmatrix}$,

kde $\sigma_x$, $\sigma_y$ a $\sigma_z$ jsou Pauliho matice. Výše uvedené vektory jsou ortonormální (tj. každé dva vektory na sebe jsou kolmé a norma každého je rovna jedné) a platí pro ně relace úplnosti.

Související články

• Hundovo pravidlo
• Stern-Gerlachův pokus