Rotace (operátor)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Rotace je matematický operátor definovaný pro vektorové funkce n proměnných, který v každém bodě udává lokální míru rotace (otáčení) definované tímto polem. Značí se \mathrm{rot}, případně (hlavně v anglické literatuře) \mathrm{curl}. Je definován jako \nabla \times \mathbf{F} (kombinace operátoru nabla a vektorového součinu), ve třech rozměrech (pro funkci tří proměnných) jej lze zapsat ve tvaru:

\operatorname{rot}\,\mathbf{F} = \nabla \times \mathbf{F} = \left (
\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z},
\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x},
\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}
\right )

Rotace využívá např. Stokesova věta, která převádí křivkový integrál vektorového pole po uzavřené křivce na plošný integrál rotace tohoto vektorového pole přes libovolnou plochu křivkou ohraničenou. Je-li rotace vektorového pole nulová, pak se toto pole dá napsat jako gradient skalární funkce (tzv. potenciálu) a nazývá se polem potenciálním.

Vlastnosti rotace[editovat | editovat zdroj]

Označíme-li F, G vektorová pole, f skalární pole, a,b reálná čísla, potom operátor rotace splňuje následující identity:

Je lineární vůči reálným číslům

\nabla\times \left(a\mathbf{F}+b\mathbf{G}\right) = 
a\nabla\times \mathbf{F}+b\nabla\times\mathbf{G}.

Rotace gradientu je nulový vektor

\nabla\times \nabla f = \mathrm{rot} \, \mathrm{grad} \, f = \mathbf{0}.

Rotace z vektorového pole násobeného polem skalárním (vektoru funkcí) je

\nabla\times \left(f \mathbf{F}\right) = 
\nabla f \times \mathbf{F}+f \nabla\times\mathbf{F}.

Rotace z vektorového součinu dvou vektorových polí je

\nabla\times \left(\mathbf{F} \times \mathbf{G}\right) = 
\left(\mathbf{G}\cdot\nabla\right)\mathbf{F}-\left(\mathbf{F}\cdot\nabla\right)\mathbf{G}
+\mathbf{F}\left(\nabla\cdot\mathbf{G}\right)-\mathbf{G}\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right),

kdežto pro rotaci z rotace vektorového pole F platí

\nabla \times \left(\nabla\times \mathbf{F}\right) =
\nabla\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)-\Delta \mathbf{F}.

Vyjádření v různých soustavách souřadnic[editovat | editovat zdroj]

Následující vztahy udávají vyjádření rotace v nejrůznějších souřadných soutavách v trojrozměrném prostoru. Je-li F vektorové pole v daných souřadnicích, pak platí

Ve válcových souřadnicích:

\nabla \times \mathbf{F} = \left({1 \over r}{\partial F_z \over \partial \varphi}
    - {\partial F_\varphi \over \partial z}\right) \boldsymbol{\hat r} +
  \left({\partial F_r \over \partial z} - {\partial F_z \over \partial r}\right) 
\boldsymbol{\hat \varphi} +
  {1 \over r}\left({\partial ( r F_\varphi ) \over \partial r} 
    - {\partial F_r \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat z}

Ve sférických souřadnicích:

\nabla \times \mathbf{F} =
  {1 \over r\sin\theta}\left({\partial \over \partial \theta} ( F_\varphi\sin\theta )
    - {\partial F_\theta \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat r} +
  {1 \over r}\left({1 \over \sin\theta}{\partial F_r \over \partial \varphi} 
    - {\partial \over \partial r} ( r F_\varphi ) \right) \boldsymbol{\hat \theta} +
  {1 \over r}\left({\partial \over \partial r} ( r F_\theta )
    - {\partial F_r \over \partial \theta}\right) \boldsymbol{\hat \varphi}

Používáme-li obecně ortogonální souřadnice x1,x2,x3, jejíž Laméovy koeficienty jsou po řadě h1,h2,h3

\nabla \times \mathbf{F} = \frac{1}{h_2 h_3} \left(
\frac{\partial \left(h_3 F_3\right)}{\partial x_2}-
\frac{\partial \left(h_2 F_2\right)}{\partial x_3}
\right)\boldsymbol{\hat x}_1
+\ \ \ \ \ 
                                 \frac{1}{h_1 h_3} \left(
\frac{\partial \left(h_1 F_1\right)}{\partial x_3}-
\frac{\partial \left(h_3 F_3\right)}{\partial x_1}
\right)\boldsymbol{\hat x}_2
+\ \ \ \ \ 
                                 \frac{1}{h_1 h_2} \left(
\frac{\partial \left(h_2 F_2\right)}{\partial x_1}-
\frac{\partial \left(h_1 F_1\right)}{\partial x_2}
\right)\boldsymbol{\hat x}_3

Ve zcela obecných souřadnicích (viz také Souřadnicový zápis vektorů) pro složky vektoru divergence platí

\left(\nabla\times \mathbf{F}\right)^i 
\frac{\boldsymbol{\partial}^{\underline{m}}}{\boldsymbol{\partial} x^i} = 
\left(\varepsilon^{ijk} F_{k,j}\right)
\frac{\boldsymbol{\partial}^{\underline{m}}}{\boldsymbol{\partial} x^i},

kde \varepsilon^{ijk} je Levi-Civitův pseudotenzor.


Úmluva: Zatímco v předchozím textu jsme za bázi brali ortonormální bázi v daných souřadnicích, ve vzorci v obecných souřadnicích používáme bázi vektorů nebo diferenciálních forem a explicitně vypisujeme jakou. Stejnětak v předchozím textu nerozlišujeme polohu indexů a všechny indexy (ortonormální báze i souřadnic) píšeme dole, zatímco v obecných souřadnicích polohu indexů důsledně rozlišujeme.

Vektorové diferenciální operátory
NablaGradientDivergenceRotaceLaplaced'Alembertův operátor

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]