Ortogonální souřadnice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Ortogonální souřadnice (ortogonální soustava souřadnic, též pravoúhlá soustava souřadnic nebo pravoúhlé souřadnice) představují v matematice takový systém souřadnic, v němž jsou v každém bodě souřadné osy navzájem kolmé.

Označení pochází z latiny, kde othos znamená pravý a přípona -gonální znamená -úhlý.

Ortogonální souřadnice lze definovat jako množinu souřadnic \mathbf{q}, jejichž metrický tenzor má pouze diagonální členy, tzn. infinitezimální čtverec vzdálenosti \mathrm{d}s^{2} může být zapsán jako součet čtverců infinitezimálních souřadnicových vzdáleností, tzn.

\mathrm{d}s^{2} = \sum_{k=1}^{D} \left( h_{k} \mathrm{d}q_{k} \right)^{2},

kde D je dimenze prostoru a funkce h_{k}(\mathbf{q})\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\   \sqrt{g_{kk}(\mathbf{q})} (tzv. Laméovy koeficienty) jsou určeny diagonálními prvky metrického tenzoru g_{ik}(\mathbf{q}).

Vektory a integrály[editovat | editovat zdroj]

Ze vztahu pro vzdálenost lze určit infinitezimální změnu ve směru souřadnice \mathrm{d}q_{m} jako \mathrm{d}s_{m} = h_{k} \mathrm{d}q_{k}. Odtud lze získat diferenciál polohového vektoru \mathbf{r} jako

\mathrm{d}\mathbf{r} = \sum_{k=1}^{D} h_{k} \mathrm{d}q_{k} \mathbf{e}_{k},

kde \mathbf{e}_{k} jsou jednotkové vektory kolmé (tedy normálové vektory) k plochám konstantních souřadnic q_{k}. Tyto jednotkové vektory jsou tečné k souřadnicovým čarám a tvoří souřadnicové osy lokálního kartézkého systému souřadnic.

Vztahy pro skalární a vektorový součin mají v ortogonálním souřadném systému obvyklý tvar, tzn.

\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = \sum_{k=1}^{D} A_{k} B_{k}

Tedy např. integrál po křivce \mathcal{C} má v ortogonálních souřadnicích tvar

\int_{\mathcal{C}} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} = \sum_{k=1}^{D} \int_{\mathcal{C}} F_{k} h_{k} \mathrm{d}q_{k},

kde F_{k} je složka vektoru \mathbf{F} ve směru k-tého jednotkového vektoru \mathbf{e}_{k}

F_{k} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\   \mathbf{e}_{k} \cdot \mathbf{F}

Podobně lze pro infinitezimální element obsahu psát \mathrm{d}P = \mathrm{d}s_{i} \mathrm{d}s_{j} = h_{i} h_{j} \mathrm{d}q_{i} \mathrm{d}q_{j}, kde i \neq j, a pro infinitezimální element objemu \mathrm{d}V = \mathrm{d}s_{i} \mathrm{d}s_{j} \mathrm{d}s_{k} = h \mathrm{d}q_{i} \mathrm{d}q_{j} \mathrm{d}q_{k}, kde h \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\   h_{i} h_{j} h_{k} a i \neq j \neq k. Např. integrál přes plochu \mathcal{S} ve třírozměrných ortogonálních souřadnicích má tvar


\int_{\mathcal{S}} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = 
\int_{\mathcal{S}} F_{1} h_{2} h_{3} \mathrm{d}q_{2} \mathrm{d}q_{3} + 
\int_{\mathcal{S}} F_{2} h_{3} h_{1} \mathrm{d}q_{3} \mathrm{d}q_{1} + 
\int_{\mathcal{S}} F_{3} h_{1} h_{2} \mathrm{d}q_{1} \mathrm{d}q_{2}

Diferenciální operátory ve třech rozměrech[editovat | editovat zdroj]

Gradient lze vyjádřit jako

\nabla \Phi = 
\frac{\mathbf{e}_{1}}{h_{1}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{1}} +
\frac{\mathbf{e}_{2}}{h_{2}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{2}} +
\frac{\mathbf{e}_{3}}{h_{3}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{3}}

Laplaceův operátor má tvar

\nabla^{2} \Phi = \frac{1}{h_{1} h_{2} h_{3}} 
\left[
\frac{\partial}{\partial q_{1}} \left( \frac{h_{2} h_{3}}{h_{1}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{1}} \right) +
\frac{\partial}{\partial q_{2}} \left( \frac{h_{3} h_{1}}{h_{2}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{2}} \right) +
\frac{\partial}{\partial q_{3}} \left( \frac{h_{1} h_{2}}{h_{3}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{3}} \right)
\right]

Operátor divergence se zapíše jako

\nabla \cdot \mathbf{F} = 
\frac{1}{h_{1} h_{2} h_{3}} 
\left[
\frac{\partial}{\partial q_{1}} \left( F_{1} h_{2} h_{3} \right) +
\frac{\partial}{\partial q_{2}} \left( F_{2} h_{3} h_{1} \right) + 
\frac{\partial}{\partial q_{3}} \left( F_{3} h_{1} h_{2} \right) 
\right]

kde F_{k} je k-tá složka vektoru \mathbf{F}.

Podobně lze operátor rotace vyjádřit ve tvaru


\nabla \times \mathbf{F} = 
\frac{\mathbf{e}_{1}}{h_{2} h_{3}} 
\left[
\frac{\partial}{\partial q_{2}} \left( h_{3} F_{3} \right) - 
\frac{\partial}{\partial q_{3}} \left( h_{2} F_{2} \right)
\right] + 
\frac{\mathbf{e}_{2}}{h_{3} h_{1}} 
\left[
\frac{\partial}{\partial q_{3}} \left( h_{1} F_{1} \right) - 
\frac{\partial}{\partial q_{1}} \left( h_{3} F_{3} \right)
\right] + 
\frac{\mathbf{e}_{3}}{h_{1} h_{2}} 
\left[
\frac{\partial}{\partial q_{1}} \left( h_{2} F_{2} \right) - 
\frac{\partial}{\partial q_{2}} \left( h_{1} F_{1} \right)
\right]

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Dvourozměrné ortogonální soustavy souřadnic[editovat | editovat zdroj]

Třírozměrné ortogonální soustavy souřadnic[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]