Laplaceův operátor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Laplaceův operátor (nebo jen Laplace) je diferenciální operátor ve vektorové analýze, definovaný jako divergence gradientu daného skalárního, nebo obecně tenzorového pole. Je-li aplikován na skalární pole, výsledkem je opět skalární pole, je-li aplikován na tenzorové pole, výsledkem je tenzorové pole stejného řádu. Bývá označován symbolem \Delta.

Laplace je invariantní vůči transformaci souřadnic.

Matematický popis[editovat | editovat zdroj]

Definice Laplaceova operátoru zapsaná pomocí operátoru nabla, resp. pomocí operátorů divergence a gradientu, má tvar

\Delta = \nabla^2 = \nabla \cdot \nabla = \mathrm{div} \, \mathrm{grad}.

Ačkoliv je tato definice nezávislá na soustavě souřadnic, v n-rozměrném euklidovském prostoru se zapisuje jako

\Delta = \sum_{i=1}^n \frac {\partial^2}{\partial x^2_i}

nebo speciálně

\Delta = 
\frac{\partial^2} {\partial x^2}  +
\frac{\partial^2} {\partial y^2}  +
\frac{\partial^2} {\partial z^2}.

v prostoru trojrozměrném euklidovském.

Důležitým speciálním případem Laplaceova operátoru je jeho vyjádření v Minkowského čtyřrozměrném prostoru, které se často používá v teorii relativity při popisu dějů v prostoročasu. Toto vyjádření se nazývá d'Alembertův operátor, značí se symbolem \square[pozn. 1] a má tvar

\square = 
{\partial^2 \over \partial x^2 } +
{\partial^2 \over \partial y^2 } +
{\partial^2 \over \partial z^2 } -
\frac {1}{c^2}{\partial^2 \over \partial t^2 }.

Vyjádření v různých soustavách souřadnic[editovat | editovat zdroj]

Následující vztahy udávají hodnotu Laplaceova operátoru v nejrůznějších souřadných soustavách v trojrozměrném prostoru. Je-li funkce f skalární pole v daných souřadnicích, pak platí

Ve válcových souřadnicích:

 \Delta f 
= {1 \over r} {\partial \over \partial r}
  \left( r {\partial f \over \partial r} \right) 
+ {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}
+ {\partial^2 f \over \partial z^2 }.

Ve sférických souřadnicích:

 \Delta f 
= {1 \over r^2} {\partial \over \partial r}
  \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}
  \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2},

nebo ekvivalentní tvar ve sférických souřadnicích

 \Delta f 
= {1 \over r} {\partial^2 \over \partial r^2}
  \left( rf \right) 
+ {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}
  \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}.

Používáme-li obecně ortogonální souřadnice x1,x2,x3, jejíž Laméovy koeficienty jsou po řadě h1,h2,h3, je vyjádření Laplaceova operátoru

\Delta f = \frac{1}{h_1 h_2 h_3} \left(
\frac{\partial }{\partial x_1} \left(
\frac{h_2 h_3}{h_1} \frac{\partial f}{\partial x_1}\right)+
\frac{\partial }{\partial x_2} \left(
\frac{h_1 h_3}{h_2} \frac{\partial f}{\partial x_2}\right)+
\frac{\partial }{\partial x_3} \left(
\frac{h_1 h_2}{h_3} \frac{\partial f}{\partial x_3}\right)
\right)

Ve zcela obecných souřadnicích (viz také Souřadnicový zápis vektorů) se pak Laplaceův operátor zapíše jako divergence gradientu, tedy

\Delta {f} = \left( f_{;i} g^{ik} \right)_{;k} =
{{f}^{;k}}_{;k}=\frac{1}{\sqrt{g}}\frac{\partial}{\partial x^i}\left(\sqrt{g}g^{ik}\frac{\partial f}{\partial x^k}\right),

kde g označuje absolutní hodnotu determinantu metrického tenzoru. Poslední vzorec platí v riemannovských prostorech libovolné dimenze.

Poznámky[editovat | editovat zdroj]

  1. Výjimečně se lze ve fyzikální literatuře setkat se zápisem d'Alembertova operátoru symbolem \square^2; symbol \square je v takových případech zpravidla vyhrazen čtyřvektoru operátoru gradientu, tj. čtyřrozměrnému zobecnění operátoru nabla.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Vektorové diferenciální operátory
NablaGradientDivergenceRotaceLaplaced'Alembertův operátor