Plošný integrál

Tento článek nebo jeho část potřebuje upravit do jednotného stylu Wikipedie nebo přiměřeně doplnit wikiodkazy na ostatní články.
Můžete Wikipedii pomoci tím, že ho vhodně vylepšíte.

Plošný integrál má podobný smysl jako křivkový integrál. U křivkového určujeme průběh funkce po křivce, u plošného určujeme průběh po ploše. Plošný integrál má využití při určovaní jiných fyzikálních veličin (např. z nerovnoměrně rozložené hustoty po ploše můžeme zjistit hmotnost plochy). Stejně tak jako u křivkového integrálu rozeznáváme i zde dva druhy.

Klíčovým je nejprve mít definovanou plochu, na které integrujeme. Pro výpočet integrálu je nejvýhodnější mít plochu definovanou parametricky, ve 3D tedy:

$\rm{r}=\rm{r}(u,v)$

Část plochy, přes kterou se integruje představuje nějakou množinu v (u,v).

Plošný integrál prvního druhu

Máme spočítat

$\int_A f(x) dS$

Nejprve vypočteme vektory $\frac{d\rm{r}}{du}$ a $\frac{d\rm{r}}{dv}$, ze kterých už snadno dostaneme obsah elementu plochy.

$dS = |\frac{d\rm{r}}{du} \times \frac{d\rm{r}}{dv}| du dv$

Dosazením za $dS$ převedeme integrál na ploše na 2D "plochý" integrál.