Plošný integrál

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Plošný integrál má podobný smysl jako křivkový integrál. U křivkového určujeme průběh funkce po křivce, u plošného určujeme průběh po ploše. Plošný integrál má využití při určovaní jiných fyzikálních veličin (např. z nerovnoměrně rozložené hustoty po ploše můžeme zjistit hmotnost plochy). Stejně tak jako u křivkového integrálu rozeznáváme i zde dva druhy.

Klíčovým je nejprve mít definovanou plochu, na které integrujeme. Pro výpočet integrálu je nejvýhodnější mít plochu definovanou parametricky, ve 3D tedy:

\mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v)

Část plochy, přes kterou se integruje představuje nějakou množinu v (u,v).


Plošný integrál prvního druhu[editovat | editovat zdroj]

Máme spočítat

\int_A f(x) dS

Nejprve vypočteme vektory \frac{d\mathbf{r}}{du} a \frac{d\mathbf{r}}{dv}, ze kterých už snadno dostaneme obsah elementu plochy.

dS = \left\|\frac{d\mathbf{r}}{du} \times \frac{d\mathbf{r}}{dv}\right\| du\, dv

Dosazením za dS převedeme integrál na ploše na 2D "plochý" integrál.