Gradient (matematika)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Ukázka gradientu (modré vektory) pro dvě různá skalární pole (černá představuje vyšší hodnotu skalární funkce).
Gradient na 3D povrchu - červená značí největší růst, modrá pomalejší, na vrcholu je růst i gradient nulový.

Gradient je v obecném smyslu slova směr růstu. Ve formálním jazyce matematiky označuje diferenciální operátor, jehož výsledkem je vektorové pole vyjadřující směr a velikost největší změny skalárního pole. Při formálním zápisu se používá operátor nabla \nabla.

V souřadnicovém vyjádření je v daném místě gradientem vektor, jehož složky tvoří jednotlivé parciální derivace funkce vyjadřující dané skalární pole. Pro trojrozměrné pole je gradient:

\nabla \phi = \mathrm{grad} \phi = \begin{pmatrix}
{\frac{\partial \phi}{\partial x}},  
{\frac{\partial \phi}{\partial y}}, 
{\frac{\partial \phi}{\partial z}}
\end{pmatrix}

Přestože je gradient definován v kartézských souřadnicích, jde o invariantní veličinu, která nezávisí na volbě souřadné soustavy.

Zobecnění pro n-rozměrný prostor lze s pomocí Einsteinova sumačního pravidla vyjádřit ve tvaru

\nabla f = \mathbf{e}_i \frac{\part f}{\part x_i},

kde x_1,x_2,...,x_n jsou souřadnice a \mathbf{e}_i jsou bázové vektory.

Operátor gradientu lze aplikovat nejen na skalární funkce, ale také na vektory a tenzory. Aplikace operátoru gradientu na tenzor zvyšuje jeho řád o jedna.

Vlastnosti gradientu[editovat | editovat zdroj]

Jsou-li F,G vektorová pole, f,g funkce, a,b reálná čísla, má gradient následující vlastnosti:

Je lineární vůči reálným číslům

\nabla\left(af+bg\right) = a\nabla f + b\nabla g\,,

splňuje Leibnizovo pravidlo pro funkce

\nabla\left(fg\right) = \left(\nabla f\right) g + f\nabla g\,,

gradient skalárního součinu vektorů splňuje

\nabla\left(\mathbf{F}\cdot\mathbf{G}\right)=\nabla\mathbf{F}\cdot\mathbf{G}+\nabla\mathbf{G}\cdot\mathbf{F},

kde \nabla\mathbf{F} chápeme jako matici a výsledek jako sloupcový vektor.

Vyjádření v různých soustavách souřadnic[editovat | editovat zdroj]

Následující vztahy udávají vyjádření gradientu v nejrůznějších souřadných soustavách v trojrozměrném prostoru. Je-li funkce f skalární pole v daných souřadnicích a stříškované tučné znaky souřadnic jsou jednotkové vektory báze v daných souřadnicích, pak platí

Ve válcových souřadnicích:

\nabla {f} = {\partial f \over \partial r}\boldsymbol{\hat r} 
  + {1 \over r}{\partial f \over \partial \varphi}\boldsymbol{\hat \varphi} 
  + {\partial f \over \partial z}\boldsymbol{\hat z}.

Ve sférických souřadnicích:

\nabla {f} = {\partial f \over \partial r}\boldsymbol{\hat r} 
  + {1 \over r}{\partial f \over \partial \theta}\boldsymbol{\hat \theta} 
  + {1 \over r\sin\theta}{\partial f \over \partial \varphi}\boldsymbol{\hat \varphi}

Používáme-li obecně ortogonální souřadnice x1,x2,x3, jejíž Laméovy koeficienty jsou po řadě h1,h2,h3

\nabla {f} = \frac{1}{h_1}{\partial f \over \partial x_1}\boldsymbol{\hat x}_1 
+ \frac{1}{h_2}{\partial f \over \partial x_2}\boldsymbol{\hat x}_2
+ \frac{1}{h_3}{\partial f \over \partial x_3}\boldsymbol{\hat x}_3.

Ve zcela obecných souřadnicích (viz také Souřadnicový zápis vektorů) pro složky vektoru gradientu platí

\nabla {f} = f_{;k} \boldsymbol{\mathrm{d}}x^k, 
\nabla {f} = f_{;i}g^{ik} 
\frac{\boldsymbol{\partial}}{\boldsymbol{\partial} x^k}
=f^{;k}
\frac{\boldsymbol{\partial}}{\boldsymbol{\partial} x^k}

Zde je potřeba podotknout, že zatímco v předchozím textu jsme za bázi brali ortonormální bázi v daných souřadnicích, ve vzorci v obecných souřadnicích používáme bázi vektorů nebo diferenciálních forem a explicitně vypisujeme jakou.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Vektorové diferenciální operátory
NablaGradientDivergenceRotaceLaplaced'Alembertův operátor