Skalární součin

Skalární součin je v matematice zobrazení, které dvojici vektorů přiřadí číslo (skalár), které má vztah k velikosti těchto vektorů, k tzv. ortogonalitě a případně k úhlu který svírají. Formálně se skalární součin definuje na reálném nebo komplexním vektorovém prostoru V jako binární zobrazení

$V\times V \to \mathbb{R}$    resp.   $V\times V \to \mathbb{C}$,    kde $V$ je vektorový prostor nad číselným tělesem $\mathbb{R}$ resp. $\mathbb{C}$,

splňující jisté vlastnosti.

Nejběžnější příklad skalárního součinu je v trojrozměrném euklidově prostoru zobrazení dané vzorcem

$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}| \cos \alpha$,

kde $\alpha$ je úhel sevřený vektory a a b.

Způsob zápisu

Nejběžnější způsoby zápisu skalárního součinu vektorů u, v jsou:

• $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$ - značení používané hlavně v prostorech konečné dimenze. Jedná se o podobné značení jako u násobení matic, což je v určitých ohledech podobná operace.
• $\langle \mathbf{u},\mathbf{v} \rangle$ - značení běžné ve funkcionální analýze.
• $(\mathbf{u},\mathbf{v})$ - starší značení, dnes již méně používané.
• $b\,(\mathbf{u},\mathbf{v})$ - b jako bilineární forma
• $\langle \mathbf{v} \mid \mathbf{u} \rangle$ - při použití Diracovy notace v kvantové mechanice

Definice

Jsou dány číselné těleso T a vektorový prostor V nad tímto tělesem. Zobrazení V×V → T  je skalárním součinem, jestliže splňuje pro všechna $\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V$ a všechna $a \in T$ následující podmínky:

1. $(\mathbf{u},\mathbf{v}) = \overline{(\mathbf{v},\mathbf{u})}$
2. $(\mathbf{u}+\mathbf{v},\mathbf{w}) = (\mathbf{u},\mathbf{w})+(\mathbf{v},\mathbf{w})$
3. $(a\,\mathbf{u},\mathbf{v}) = a\,(\mathbf{u},\mathbf{v})$
4. $(\mathbf{v},\mathbf{v}) \ge 0$
5. $(\mathbf{v},\mathbf{v}) = 0 \iff \mathbf{v} = \mathbf{0}$

Pruhem je označeno komplexní sdružení. Pro reálná čísla platí  $\overline x = x.$

Vlastnosti

• v reálném vektorovém prostoru je skalární součin komutativní, tzn.

$(\mathbf{u},\mathbf{v}) = (\mathbf{v},\mathbf{u})$

• pro komplexní a platí

$(\mathbf{u},a\,\mathbf{v}) = \overline{a}\,(\mathbf{u},\mathbf{v})$

• vektory u, v nazýváme ortogonálními vektory, pokud splňují vztah

$(\mathbf{u},\mathbf{v}) = 0$

• jestliže množina $\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\dots,\mathbf{e}_n\}$ vyhovuje vztahu

$(\mathbf{e}_j,\mathbf{e}_k) = \delta_{jk}$,  kde $\delta_{jk}$ je Kroneckerovo delta,

pak tyto vektory označujeme jako ortonormální.

Geometrická interpretace skalárního součinu.

• pomocí skalárního součinu lze definovat normu vektoru, tzv.

norma generovaná skalárním součinem:

$\|\mathbf{v}\| = \sqrt{(\mathbf{v},\mathbf{v})}$

• z geometrického hlediska představuje skalární součin vektorů u, v součin velikosti vektoru u a velikosti průmětu v do směru vektoru u, tzn.

$\mathbf{u}\cdot \mathbf{v} = \|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\| \cos \alpha$,

kde $\alpha$ je úhel, který svírají vektory u, v.

Příklady skalárních součinů

• pro dva vektory $\mathbf{u}=\sum_{i=1}^n u^i \mathbf{e}_i,\, \mathbf{v}=\sum_{i=1}^n v^i \mathbf{e}_i$

(zapsané v nějaké jedné pevně zvolené bázi) lze skalární součin definovat jako

$(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \sum^n_{i,j=1} (\mathbf{e}_i,\mathbf{e}_j) u^i \overline{v^j} = \sum^n_{i,j=1} g_{i j}u^i \overline{v^j}$,

kde $g_{i j} = (\mathbf{e}_i,\mathbf{e}_j)$ je metrický tenzor (v tomto případě matice).

• skalární součin funkcí $(f, g)=\int_a^b f(x)\cdot \overline{g(x)} dx$   (meze integrace jsou obvykle $0, \pm \infty, \pm 1$)

Příklad výpočtu skalárního součinu

Mějme dva trojrozměrné vektory a = (1,2,3), b = (4,5,6). Potom jejich skalární součin je

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_ 1b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = 1\cdot 4 + 2\cdot 5 + 3\cdot 6 = 32$.

Související články

• Vektor
• Vektorový součin
• Smíšený součin