Posloupnost

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Jako posloupnost se v matematice označuje (konečný či nekonečný) soubor matematických objektů, očíslovaných obvykle přirozenými čísly.

Posloupnost lze definovat jako zobrazení z množiny přirozených čísel do nějaké celkem libovolné množiny \mathbf{A}.

Členy posloupnosti mohou být čísla, pak hovoříme o číselné posloupnosti, ale také funkce, pak hovoříme o funkčních posloupnostech anebo např. trojúhelníky či obecné množiny. Číselná posloupnost je tedy posloupnost, která každému přirozenému číslu n přiřazuje číslo a_n, přičemž a_n závisí pouze na hodnotě n. Funkční posloupnost je posloupnost, která každému přirozenému číslu n přiřazuje funkci f_n(x), přičemž hodnota n-tého členu funkční posloupnosti závisí nejen na pořadovém čísle n, ale také na parametrech funkce f_n (v obecném případě nemusí jít o funkci jedné proměnné).

Posloupnost značíme obvykle (podobně jako uspořádanou n-tici) (a_n)_{n=1}^\infty, (a_n) nebo (pokud nemůže dojít k záměně s jiným značením) pouze a_n. Čteme „posloupnost á en pro en (jdoucí) od jedné do nekonečna“.

Posloupnost může být určena výrazem (předpisem), který vyjadřuje přímo n-tý člen posloupnosti a_n, např. a_n = \frac{n}{n+1} odpovídá posloupnosti \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \cdots

Posloupnost může být také zadána rekurentně, kdy jsou členy posloupnosti určeny prostřednictvím předcházejících členů. Rekurentním zadáním lze snadno definovat např. Fibonacciho posloupnost:

a_1=1, a_2=1, a_{n+2} = a_n + a_{n+1}.

Její členy jsou 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Posloupnost je

  • neklesající, pokud pro všechna i platí a_i \ge a_{i-1},
  • nerostoucí, pokud pro všechna i platí a_i \le a_{i-1},
  • klesající, pokud pro všechna i platí a_i < a_{i-1},
  • rostoucí, pokud pro všechna i platí a_i > a_{i-1},
  • zdola omezená v množině A, pokud existuje takové L \in \mathit{A}, že pro všechna i platí a_i \ge L,
  • shora omezená v množině A, pokud existuje takové K \in \mathit{A}, že pro všechna i platí a_i \le K.

Je-li posloupnost nerostoucí nebo neklesající, říkáme, že je monotónní, pokud je rostoucí nebo klesající, je ryze monotónní.

Je-li posloupnost zároveň zdola i shora omezená, říkáme, že je omezená.

Jestliže se v libovolně malém \varepsilon-okolí bodu d, tzn. v intervalu (d-\varepsilon,d+\varepsilon), nachází nekonečně mnoho členů posloupnosti (a_n), pak bod d nazýváme hromadným bodem posloupnosti (a_n).

Limita[editovat | editovat zdroj]

Související informace naleznete také v článku Limita posloupnosti.

Říkáme, že posloupnost

  • konverguje (je to konvergentní posloupnost), má-li konečnou limitu (např. 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots konverguje k 0),
  • diverguje (je to divergentní posloupnost), má-li nekonečnou limitu (např. 1, 2, 3, \ldots diverguje k \infty), nebo nemá limitu, ale osciluje (např. 1, -1, 1, -1, \ldots).

Ze spojitosti uspořádání reálných čísel (věta o supremu a infimu) plyne, že monotónní reálná posloupnost musí mít limitu.

Vybraná posloupnost[editovat | editovat zdroj]

Je-li (a_n)_{n=1}^\infty posloupnost (obecně reálných) čísel a (k_n)_{n=1}^\infty rostoucí posloupnost přirozených čísel, pak výraz (a_{k_n})_{n=1}^\infty nazýváme posloupnost vybraná (též podposloupnost) z a_n (jinými slovy, z a_n vybereme některé členy, např. všechny liché).

Platí důležitá Bolzano-Weierstrassova věta: Z každé omezené posloupnosti reálných čísel lze vybrat konvergentní posloupnost. Tato věta je založena na axiomu výběru a proto v některých logických systémech (např. intuicionistická logika) neplatí.

Související články[editovat | editovat zdroj]