Fibonacciho posloupnost

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Jako Fibonacciho posloupnost je v matematice označována nekonečná posloupnost přirozených čísel, začínající 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … (čísla nacházející se ve Fibonacciho posloupnosti jsou někdy nazývána Fibonacciho čísla), kde každé číslo je součtem dvou předchozích. Rekurzivní definice Fibonacciho posloupnosti tedy je:


  F(n)=
  \left\{
   \begin{matrix}
    0\,,\qquad\qquad\qquad\quad\,\ \ \,&&\mbox{pro }n=0\,;\ \ \\
    1,\qquad\qquad\qquad\qquad\,&&\mbox{pro }n=1;\ \ \,\\
    F(n-1)+F(n-2)&&\mbox{jinak.}
   \end{matrix}
  \right.

Historie[editovat | editovat zdroj]

Fibonacciho posloupnost byla poprvé popsána italským matematikem Leonardem Pisano (Leonardo z Pisy), známým také jako Fibonacci (cca 11751250), k popsání růstu populace králíků (za poněkud idealizovaných podmínek). Číslo F(n) popisuje velikost populace po n měsících, pokud předpokládáme, že

  • První měsíc se narodí jediný pár.
  • Nově narozené páry jsou produktivní od druhého měsíce svého života.
  • Každý měsíc zplodí každý produktivní pár jeden další pár.
  • Králíci nikdy neumírají, nejsou nemocní atd.

Termín Fibonacciho posloupnost je někdy používán i pro jiné posloupnosti, ve kterých platí, že f(n+2) = f(n) + f(n+1). Libovolnou takovou posloupnost lze zapsat jako f(n) = aF(n) + bF(n+1), pro nějaké koeficienty a, b, tzn. tyto posloupnosti tvoří vektorový prostor s posloupnostmi F(n) a F(n+1)) jako bází.

Speciální případ takové obecné Fibonacciho posloupnosti s f(1) = 1 a f(2) = 3 se nazývá Lucasova čísla.

Explicitní vyjádření[editovat | editovat zdroj]

Jak zjistil už Johannes Kepler, rychlost růstu Fibonacciho posloupnosti, tzn. podíl dvou po sobě jdoucích členů F(n+1) / F(n), konverguje k hodnotě zlatého řezu φ = (1+√5) / 2 ≈ 1,62. Pomocí tohoto faktu, techniky generujících funkcí, nebo pomocí řešení rekurentních rovnic lze dospět k následujícímu explicitnímu (nerekurzivnímu) vztahu pro n-tý člen Fibonacciho posloupnosti:

F\left(n\right) = {\varphi^n \over \sqrt{5}} - {(1-\varphi)^n \over \sqrt{5}}

Druhý člen této rovnice se s rostoucím n blíží nule, takže asymptotické chování Fibonacciho posloupnosti je dáno prvním členem, takže F(n)φn / √5, z čehož je zřejmá již zmíněná rychlost růstu.

Ve skutečnosti je druhý člen tak malý i pro malá n, že ho lze zcela zanedbat a Fibonacciho čísla získávat prostým zaokrouhlením prvního členu na nejbližší celé číslo.

Algoritmy výpočtu[editovat | editovat zdroj]

Výpočet n-tého Fibonacciho čísla přímým dosazením do výše uvedeného explicitního vzorce je sice rychlá metoda, avšak kvůli hromadícím se nepřesnostem při výpočtu za použití čísel s plovoucí řádovou čárkou je pro větší n nepoužitelná.

Přímočará implementace výpočtu podle definice, rekurzivním algoritmem, je extrémně neefektivní. Technicky exponenciální v n.

Nejčastějším způsobem výpočtu je tedy postupný výpočet, ve kterém se začíná s hodnotami F(0) a F(1) a postupně se počítají další členy posloupnosti, přičemž v paměti stačí udržovat hodnotu dvou posledních členů.

Pro velmi vysoké hodnoty n je možno použít následující vzorec, využívající maticové operace:

\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}^n =
       \begin{bmatrix} F\left(n+1\right) & F \left(n\right) \\
                       F\left(n\right)   & F \left(n-1\right) \end{bmatrix}

Při použití vhodného algoritmu pro výpočet mocnin se jedná o relativně rychlý postup. Potřebuje logaritmický počet maticových a celočíselných operací.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

  • F(n+2) = F(n) + F(n+1)
  • F(0) + F(1) + … + F(n) = F(n+2) − 1
  • F(1) + 2F(2) + 3F(3) + … + nF(n) = nF(n+2)F(n+3) + 2
  • F(n) vyjadřuje počet způsobů, kterým lze vyrobit číslo n−1 jako součet čísel 1 a 2.
  • Číslo x je Fibonacciho číslo, pokud výraz \sqrt{5x^2+4} nebo \sqrt{5x^2-4} je celé číslo.

Význam[editovat | editovat zdroj]

Zlatý řez.
Podrobnější informace naleznete v článku logaritmická spirála.

Limita poměru dvou následujících čísel Fibonacciho posloupnosti je rovna zlatému řezu.

Fibonacciho posloupnost je „manifestována“ přírodou a to jak v říši živočišné tak rostlinné. Objevuje se např:

  • V semenících slunečnice, kde lze pozorovat jednotlivá semínka uspořádaná do spirál o dvou po sobě jdoucích čísel posloupnosti (na obrázku je to 34 a 55, tedy F(9) a F(10)).
  • Zdřevnatělé lístky plodu artyčoku jsou uspořádány do spirál vedoucí dvěma směry, jejichž počet kolem stonku opět tvoří dvě po sobě jdoucí čísla Fibonacciho posloupnosti (typicky 5 a 8, tedy F(5) a F(6)). Obdobně se tato vlastnost objevuje u šišek některých listnatých stromů, tam většinou počet spirál tvoří vyšší členy Fibonacciho posloupnosti.
  • Fibonnaciho posloupnost opisuje genealogii včel, stejně jako složení jejich pohlaví.[1]
  • Taktéž velikost sousedních vrstev listů zelí zachovává poměr dvou po sobě jdoucích čísel Fibonnaciho posloupnosti.
  • Poměr velikostí dvou po sobě jdoucích komůrek ulity některých plžů odpovídá poměru dvou po sobě jdoucích čísel Fibonacciho posloupnosti.
  • Obdobný tvar lze najít u rohů některých druhů čeledi Bovidae.
  • Fibonnaciho posloupnost lze najít u celé řady vyšších rostlin, např. v poměru velikostí jejích listů, nebo úhlu, kterým ze stonku vyrůstají.
  • Jak v případě ulit mlžů, rohů čeledi turovitých, i listů vyšších rostlin pro tento typ růstu platí, že v každém okamžiku růstu je těžiště (v limitním případě) stejné a daná rostlina nebo živočich se změně těžiště nemusí přizpůsobovat.
  • U tzv. zlaté spirály, která se taktéž vyskytuje v přírodě, převážně v živočišné říši, platí invariance vůči velikosti (tedy, pohledu do středu spirály zůstává týž při jakémkoli přiblížení či zvětšení).
  • Tyto projevy a zákonitosti Fibonacciho posloupnosti byly známy již starověkým Egypťanům.[2]
Související informace naleznete také v článku Zlatý řez#Zlatý řez v přírodě.

Další posloupnosti[editovat | editovat zdroj]

Čísla Fibonacciho posloupnosti na komínu Turku Energia.

V některých oborech se objevují čísla či posloupnosti nějak příbuzná s Fibonacciho posloupností:

Tribonacciho čísla[editovat | editovat zdroj]

Tribonacciho číslo je definováno jako součet tří předchozích členů posloupnosti. Začátek posloupnosti:

1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890, 66012, 121415, 223317, 410744, 755476, ...

Tetranacciho čísla[editovat | editovat zdroj]

Tetranacciho číslo je definováno jako součet čtyř předchozích členů posloupnosti. Začátek posloupnosti:

1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, …

Repfigity[editovat | editovat zdroj]

Repfigit (repeated Fibonnaci-like digit, též Keithovo číslo) je takové celé číslo, které se objevuje v zobecněné Fibonacciho posloupnosti, která začíná jednotlivými číslicemi tohoto čísla. Např. číslo 47 je repfigit, neboť Fibonacciho posloupnost 4, 7, 11, 18, 29, 47 obsahuje toto číslo. Pro trojciferná čísla se uvažuje Tribonacciho posloupnost atd. Posloupnost Keithových čísel začíná:

14, 19, 28, 47, 61, 75, 197, …

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. http://american-university.com/cas/mathstat/newstudents/shared/puzzles/fibbee.html
  2. Magical Egypt

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]