Zaokrouhlení

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Zaokrouhlení ( $\dot=$ ) je proces, při kterém se snižuje počet významových číslic v čísle.

Výsledek zaokrouhlení je „kratší“ číslo, má menší počet nenulových číslic zprava, je méně přesný, ale lépe se s ním manipuluje a lépe se zobrazuje.

Např. číslo $π$ (pí), má nekonečný desetinný rozvoj: 3,141592653589793238462643383279…

Leží tedy někde mezi $3,141 \leq \pi \leq 3,142$ .

Pokud ho chceme vyjádřit na tři desetinná místa, potom přičteme polovinu rozsahu v daném desetinném místě: $3{,}1415926\ldots + 0{,}0005 \dot= 3{,}1420962$ a zbytek se zahodí. Číslo $π$ zaokrouhlené na 3 desetinná místa je 3,142.

[editovat] Typy zaokrouhlování

Používají se tyto typy zaokrouhlování:

zaokrouhlení dolů (floor) - prosté odříznutí (resp. vynulování) číslic nižších řádů, než je zvolený řád zaokrouhlení - nejjednodušší způsob zaokrouhlení
zaokrouhlení nahoru (ceil) - po zaokrouhlení dolů je poslední číslice (počet jednotek zaokrouhlovacího řádu) zvětšena o 1. Pokud k zaokrouhlení nedošlo, jednička se nepřičítá.
matematické zaokroulení (round) - obvyklé zaokrouhlení, při kterém se hodnota zaokrouhlí nahoru nebo dolů podle toho, kterého absolutní hodnota rozdílu od původního čísla (čísla před zaokrouhlením) je menší, např. tak, že se číslo zvětší o polovinu intervalu a pak zaokrouhlí dolů

Při zaokrouhlování dochází k nutné a žádoucí chybě (nepřesnosti).

Kromě toho ovšem dochází k chybám nežádoucím, které jsou dvojí:

zaokrouhlení pětky

Pro číslo uprostřed zaokrouhlovacího intervalu se volí různě „šalamounská“ řešení, například nahoru anebo s příklonem k sudé číslici (preference sudé). Preferencí sudé se řeší to, že při jednostranném zaokrouhlení těchto čísel nahoru uprostřed (bez preference sudé) se výsledky v průměru nadsazují. Zaokrouhlování pětky nahoru, což se děti často na základních školách učí je tedy principiálně nesprávné.

postupné zaokrouhlení:

Příklad zaokrouhlení pětky:

$3{,}245 \dot= \left\{\begin{matrix} 3{,}24 \\ 3{,}25 \end{matrix}\right.$

V obou možnostech je stejná absolutní chyba, ale při preferenci sudé zde zaokrouhlíme dolů na 3,24; pokud použijeme přičtení poloviny v daném desetinném místě a ořízneme, vyjde 3,25. Zaokrouhlování s preferencí sudé číslice se používá např. v normě IEEE 754 pro zobrazení floating point čísel.

Např. z hodnot 1,5, 1,5, 4,5, 2,5 a 1,5 se součtem 12,5 a s průměrnou hodnotou 2,5 získáme po zaokrouhlení půlek nahoru hodnoty 2, 2, 5, 3, 2, součet 14 a průměr 2,8, kdežto při preferenci sudé čísla 2, 2, 4, 2, 2, součet 12 a průměr 2,4, tedy menší průměrnou chybu.

[editovat] Postupné zaokrouhlování

Při postupném zaokrouhlování (zaokrouhlení na nižší a pak až na vyšší řád) vzniká další typ chyby: výsledek se může lišit od výsledku při přímém zaokrouhlení na vyšší řád.

Příklad: zaokrouhlit 1,45 na dvě desetinná místa.

$1{,}45 \dot= 1{,}5 \dot= 2$