IEEE 754

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

IEEE 754 je známý také jako IEC 60559 případně IEC 559. , neboli Standard IEEE pro dvojkovou aritmetiku v pohyblivé řádové čárce (někdy též nesprávně v plovoucí desetinné čárce), je nejrozšířenější standard pro výpočty v pohyblivé řádové čárce, který používá mnoho mikroprocesorů a jednotek FPU. Standard definuje formáty pro reprezentaci čísel v pohyblivé desetinné čárce včetně záporné nuly, denormalizovaných čísel a zvláštních hodnot (kladné a záporné nekonečno, a „nečíslo“ - NaN).

Verze standardu[editovat | editovat zdroj]

  • IEEE 754-1985 ... byl poprvé implementován v koprocesoru Intel 8087
  • IEEE 754-2008 ... rozšiřuje IEEE 754-1985; převzaly ho také ISO/IEC/IEEE 60559:2011

IEEE 754-1985 definuje čtyři formáty čísla pro: jednoduchou přesnost (single, 32 bitů), dvojnásobnou přesnost (double, 64 bitů), základní-rozšířenou přesnost (≥ 43-bitů, běžně se nepoužívá) a dvojitou-rozšířenou přesnost (≥ 79-bitů, obvykle se implementuje na 80 bitů). Pro implementaci standardu je vyžadována pouze základní přesnost, ostatní jsou volitelné.

IEEE 754-2008 rozšiřuje předchozí standard o čísla s poloviční a čtyřnásobnou přesností, dále doplňuje formáty pro práci s desítkovou aritmetikou v plouvoucí řádově čárce.

IEEE 754-2008 IEEE 754-1985 bitů základ znaménko exponent mantisa pozn.
binary16 - 16b 2 1b 5b 10+1b(*) poloviční přesnost, "Half"
binary32 single 32b 2 1b 8b 23+1b základní přesnost
binary64 double 64b 2 1b 11b 52+1b dvojitá přesnost
- extended 80b 2 1b  ?  ? dvojitá rozšířená přesnost
binary128 - 128b 2 1b 15b 112+1b čtyřnásobná přesnost
decimal32(x) - 32b 10 1b -95 až +96 7 číslic základní přesnost
decimal64(x) - 64b 10 1b -383 až +384 16 číslic dvojitá přesnost
decimal128(x) - 128b 10 1b -6143 až +6144 34 číslic čtyřnásobná přesnost
(*) zápis 10+1b označuje že mantissa je uložná 10 bitově přičemž se používá 1 "skrytý" bit
(x) každý decimální formát připouští dvě reprezentace, buď s využitím binárního kódování mantisy, nebo s využitím kódování DPD, kdy se 3 desítkové číslice zakódují do deseti bitů.

Základní přesnost (single, binary32)[editovat | editovat zdroj]

Číslo v pohyblivé řádové čárce zabírá v přesnosti „single“ právě 32 bitů. Přitom je jeden bit vyhrazen pro určení znaménka, 8 bitů pro zakódování exponentu v aditivním kódování a 23 bitů pro zakódování mantisy.

bit 31 30 29 … 24 23 22 21 … 3 2 1 0
význam s (znaménko) e (exponent) m (mantisa)

podrobněji rozepsáno:

bit 31 30 29 24 23 22 21 ... 3 2 1 0
význam s e7 e6 e1 e0 m1 m2 ... m20 m21 m22 m23

Pro reprezentovanou hodnotu "X" platí.

 X = (-1)s × 2E-127 × (1 + Q)

kde:

 E = 27 × e7 + 26 × e6 + ... + 21 × e1 + e0
 Q = m1 × 2-1 + m2 × 2-2 + ... + m22 × 2-22 + m23 × 2-23

Můžeme si povšimnout, že místo aby mantisa obsahovala bit m0, tak se k ní vždy přičítá jednička. Tento "skrytý bit" umožňuje efektivnější kódování a porovnávání. Díky absenci m0 je vyloučena možnost zakódovat stejné číslo mnoha různými způsoby. Současně bychom se tím však zbavili možnosti zakódovat číslo nula. Proto výše uvedený základní vzorec platí pouze když je E v mezích 1 až 254, hodnoty E=0 a E=255 jsou použity pro vyjádření speciálních případů, kdy nelze výsledek operace pomocí výše uvedeného vzorce zakódovat:

podmínka hodnota poznámka
E = 1 až 254 X = (-1)s × 2E-127 × (1 + Q) základní formát
E = 0, Q ≠ 0 X = (-1)s × 2-126 × Q denormalizovaná čísla
E = 0, Q = 0, s = 0 X = 0 kladná nula
E = 0, Q = 0, s = 1 X = 0 záporná nula
E = 255, Q = 0, s = 0 X = +∞ kladné nekonečno (výsledek byl příliš vysoký)
E = 255, Q = 0, s = 1 X = -∞ záporné nekonečno (výsledek byl příliš nízký)
E = 255, Q > 0 X = NaN není číslo

Ostatní dvojkové formáty[editovat | editovat zdroj]

Ostatní formáty se základem 2 jsou řešeny obdobně jako základní přesnost, pouze jsou jiné počty bitů pro pole e a m

Desítkové formáty[editovat | editovat zdroj]

Desítkové formáty se zatím běžně nepoužívají, standard navíc připouští dvě různé implementace, které mohou být u některých formátů i částečně funkčně odlišné. Tyto implementace se liší v kódování mantisy, které je buď binární anebo využívá schéma DPD pro zakódování tří desítkových číslic do deseti bitů.

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]