Báze (algebra)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Báze vektorového prostoru je (neformálně řečeno) množina „os“ (například osy x, y, z v euklidovském prostoru), která umožňuje zavést na daném prostoru souřadnice.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Báze vektorového prostoru V je množina lineárně nezávislých vektorů, jejichž lineární obal je roven celému prostoru V. V konečně dimenzionálním prostoru dimenze n je bází každá množina obsahující n lineárně nezávislých vektorů.

U prostorů nekonečné dimenze je pojem složitější. Přímočaré zobecnění vede k pojmu Hammelovy báze (je to množina vektorů taková, že každý vektor je možné vyjádřit jako konečnou lineární kombinaci bázových vektorů).

Je-li B=\{ e_1, e_2, \ldots, e_n \} bází n-rozměrného vektorového prostoru V, pak libovolný vektor v \in V lze vyjádřit pomocí jednoznačně určených koeficientů a_i jako

v = \sum_{i=1}^n a_i e_i.

Čísla \{a_i\} se pak nazývají souřadnice vektoru v v bázi B.

V případě Hilbertova prostoru nebo obecněji Banachova prostoru se pod pojmem báze (přesněji Schauderova báze) obvykle rozumí lineárně nezávislá množina vektorů splňující podmínku, že uzávěr jejich lineárního obalu je celý prostor.

Ortogonální a ortonormální báze[editovat | editovat zdroj]

Důležitou roli (např. v teorii Hilbertových prostorů) hrají báze ortogonální.

Báze v prostoru H se nazývá ortogonální, jestliže pro libovolné dva různé vektory ui, uk zvolené báze platí

(\mathbf{u}_i,\mathbf{u}_k ) = 0,

kde závorka označuje skalární součin.

Pokud navíc pro každý prvek báze \mathbf{u}_i platí

(\mathbf{u}_i,\mathbf{u}_i ) = 1,

pak bázi označujeme jako ortonormální.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

  • Dvě různé báze daného prostoru mají stejný počet prvků.
  • Počet prvků báze se nazývá dimenze vektorového prostoru (pokud je konečný, jinak se dimenze nazve nekonečná).
  • Jsou-li v1, v2, …, vk lineárně nezávislé vektory prostoru Vn dimenze n a k\leq n, pak je možné tuto množinu doplnit n-k vektory na bázi V_n.

Příklady bází[editovat | editovat zdroj]

  • Vektory (0,1) a (1,1) tvoří bázi ve dvourozměrném prostoru \mathbb{R}^2 i \mathbb{C}^2.
  • Vektory (0,1) a (1,0) tvoří v obou těchto prostorech jinou bázi, která je však ortonormální (při standardním skalárním součinu). Tato báze navíc v daných prostorech tvoří tzv. standardní bázi.
  • Funkce \sin (2 \pi n x), n=1,2,\ldots a \cos (2 \pi n x), n=0,1,2,\ldots tvoří ortonormální (Schauderovu) bázi prostoru kvadraticky integrovatelných funkcí definovaných na intervalu (0,1), tj. prostoru L^2((0,1)) (chápaného jako Hilbertův prostor se standardním skalárním součinem).
  • Hermitovy polynomy tvoří ortogonální bázi prostoru polynomů se skalárním součinem (P,Q):=\int \tilde{P} Q e^{-x^2}dx.

Související články[editovat | editovat zdroj]