Báze (algebra)

Báze vektorového prostoru je (neformálně řečeno) množina „os“ (například osy x, y, z v euklidovském prostoru), která umožňuje zavést na daném prostoru souřadnice.

Definice

Báze vektorového prostoru V je množina lineárně nezávislých vektorů, jejichž lineární obal je roven celému prostoru V. V konečně dimenzionálním prostoru dimenze n je bází každá množina obsahující n lineárně nezávislých vektorů.

U prostorů nekonečné dimenze je pojem složitější. Přímočaré zobecnění vede k pojmu Hammelovy báze (je to množina vektorů taková, že každý vektor je možné vyjádřit jako konečnou lineární kombinaci bázových vektorů).

Je-li $B=\{ e_1, e_2, \ldots, e_n \}$ bází $n$-rozměrného vektorového prostoru $V$, pak libovolný vektor $v \in V$ lze vyjádřit pomocí jednoznačně určených koeficientů $a_i$ jako

$v = \sum_{i=1}^n a_i e_i$.

Čísla $\{a_i\}$ se pak nazývají souřadnice vektoru $v$ v bázi $B$.

V případě Hilbertova prostoru nebo obecněji Banachova prostoru se pod pojmem báze (přesněji Schauderova báze) obvykle rozumí lineárně nezávislá množina vektorů splňující podmínku, že uzávěr jejich lineárního obalu je celý prostor.

Ortogonální a ortonormální báze

Důležitou roli (např. v teorii Hilbertových prostorů) hrají báze ortogonální.

Báze v prostoru H se nazývá ortogonální, jestliže pro libovolné dva různé vektory u_i, u_k zvolené báze platí

$(\mathbf{u}_i,\mathbf{u}_k ) = 0$,

kde závorka označuje skalární součin.

Pokud navíc pro každý prvek báze $\mathbf{u}_i$ platí

$(\mathbf{u}_i,\mathbf{u}_i ) = 1$,

pak bázi označujeme jako ortonormální.

Vlastnosti

• Dvě různé báze daného prostoru mají stejný počet prvků.
• Počet prvků báze se nazývá dimenze vektorového prostoru (pokud je konečný, jinak se dimenze nazve nekonečná).
• Jsou-li v₁, v₂, …, v_k lineárně nezávislé vektory prostoru Vⁿ dimenze n a $k\leq n$, pak je možné tuto množinu doplnit $n-k$ vektory na bázi $V_n$.

Příklady bází

• Vektory (0,1) a (1,1) tvoří bázi ve dvourozměrném prostoru $\mathbb{R}^2$ i $\mathbb{C}^2$.
• Vektory (0,1) a (1,0) tvoří v obou těchto prostorech jinou bázi, která je však ortonormální (při standardním skalárním součinu).
• Funkce $\sin (2 \pi n x), n=1,2,\ldots$ a $\cos (2 \pi n x), n=0,1,2,\ldots$ tvoří ortonormální (Schauderovu) bázi prostoru kvadraticky integrovatelných funkcí definovaných na intervalu (0,1), tj. prostoru $L^2((0,1))$ (chápaného jako Hilbertův prostor se standardním skalárním součinem).
• Hermitovy polynomy tvoří ortogonální bázi prostoru polynomů se skalárním součinem $(P,Q):=\int \tilde{P} Q e^{-x^2}dx$.

Související články

• Vektorový prostor
• Dimenze
• Steinitzova věta o výměně