Lineární obal

Tento článek potřebuje úpravy.

Můžete Wikipedii pomoci tím, že ho vylepšíte. Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl, Encyklopedický styl a Odkazy.

Mějme množinu $M$, která je podmnožinou vektorového prostoru $V$. Průnik všech podprostorů prostoru $V$, které obsahují množinu $M$ se nazývá lineárním obalem množiny $M$.

Lineární obal množiny $M$ se obvykle zapisuje jako $\langle M \rangle$.

Lineární obal množiny $M$ je nejmenším podprostorem prostoru $V$, který obsahuje množinu $M$.

Také si lze lineární obal představit jako množinu všech lineárních kombinací z množiny M.

Jestliže množina $M$ je prázdná, tzn. $M = \emptyset$, pak je lineárním obalem nulový prvek. Pokud je množina $M$ neprázdná, pak lineární obal tvoří množina všech lineárních kombinací vektorů z množiny $M$, tzn.

$\langle M \rangle = \{ \sum_{i=1}^n a_i u_i | u_i \in M , a_i \in R, {i = 1, 2, ..., n} \}$

Pokud je L lineární prostor a množiny M a N jsou podmnožiny L a zároveň M je podmnožinou N, pak je lineární obal množiny M podmnožinou lineárního obalu množiny N.

Množina M je podmnožinou svého lineárního obalu. Důkaz: Lineární obal množiny vektorů z M obsahuje každou jejich lineární kombinaci a tedy lze každý vektor z M vyjádřit tak, že se skaláru u něj přiřadí jednotkový prvek a všem dalším skalárům prvek nulový.

Lineární obal lineárního obalu množiny M je roven lineárnímu obalu množiny M.

Množina M může být i podprostorem lineárního prostoru L - a to v případě, že lineární obal množiny M je roven množině M.

Související články

• Konvexní množina
• Vektorový prostor
• Lineární kombinace