Rovina

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Tento článek pojednává o geometrickém útvaru. Další významy jsou uvedeny v článku Rovina (rozcestník).

Rovina je v matematice dvourozměrný geometrický útvar, který si lze představit jako neomezenou dokonale rovnou plochu. Algebraicky vyjádřeno, jde o množinu bodů izomorfní s dvoudimenzionálním lineárním prostorem. Jinak řečeno jde o dvoudimenzionální afinní prostor.

Rovina může být určena třemi různými body, nebo přímkou a bodem, který leží mimo tuto přímku.

Značení[editovat | editovat zdroj]

Rovina je buď plocha, na kterou se kreslí (nákresna), nebo se znázorňuje některým rovinným útvarem pomocí některého geometrických promítání. Rovina se označuje malým řeckým písmenem.

Znázornění:

Zobrazení roviny

Rovnice roviny[editovat | editovat zdroj]

Rovina je množina bodů prostoru, které vyhovují tzv. rovnici roviny, která může být zadána v různých tvarech.

Obecná rovnice roviny[editovat | editovat zdroj]

Obecná rovnice roviny má tvar

ax+by+cz+d=0\,\!,

kde koeficienty a,\,b,\,c\,\! nejsou současně nulové a jsou to koeficienty normálového vektoru roviny (vektoru kolmého k rovině). Proměnné x,\,y,\,z\,\! jsou souřadnice bodu ležícího v rovině.

V případě, že známe tři body K,\,L,\,M určující rovinu, obecnou rovnici roviny získáme takto: spočteme vektory \overrightarrow{KL} a \overrightarrow{KM}, vypočítáme jejich Vektorový součin ze kterého získáme koeficienty a,\,b,\,c\,\! a napíšeme obecnou rovnici. Zbývající koeficient d získáme tak, že dosadíme souřadnice bodu K (nebo kteréhokoli jiného bodu ze zadání) do napsané rovnice.

Parametrické vyjádření roviny[editovat | editovat zdroj]

Parametrické vyjádření roviny má například vektorový tvar X=A+t u + s v\,\!, který se dá rozepsat dle složek takto:

x=A_1+t u_1+s v_1\,\!
y=A_2+t u_2+s v_2\,\!
z=A_3+t u_3+s v_3\,\!,

kde s,\,t \in R\,\! a X\,\! je bod, který leží v rovině a vektory u\,\! a v\,\! jsou nekolineární vektory ležící v rovině, tzn. jsou to směrové vektory roviny.

Úseková rovnice roviny[editovat | editovat zdroj]

Úsekovou rovnici roviny zapisujeme jako

\frac{x}{p} + \frac{y}{q} + \frac{z}{r} = 1,

kde p,\,q,\,r vymezují úseky vyťaté rovinou na osách x,\,y,\,z\,\!.

Srovnáním úsekové a obecné rovnice dostáváme p = -\frac{d}{a},\,q = -\frac{d}{b},\,r = -\frac{d}{c}\,\!.

Normálová rovnice roviny[editovat | editovat zdroj]

Normálová rovnice roviny má tvar

x\cos\alpha + y\cos\beta + z\cos\gamma + p = 0\,\!,

kde p\,\! je vzdálenost počátku souřadného systému od roviny, tj. délka normály od počátku souřadnicového systému do průsečíku s rovinou,
\cos\alpha,\,\cos\beta,\,\cos\gamma\,\! jsou směrové kosiny roviny,
\alpha,\,\beta,\,\gamma\,\! představují úhly, které svírají kladné souřadnicové poloosy s normálou roviny.
Normála je směrnice kolmá ve všech směrech k rovině.
Směrové kosiny lze vyjádřit z obecné rovnice jako

\cos\alpha = \frac{a}{\varepsilon\sqrt{a^2+b^2+c^2}}
\cos\beta = \frac{b}{\varepsilon\sqrt{a^2+b^2+c^2}}
\cos\gamma = \frac{c}{\varepsilon\sqrt{a^2+b^2+c^2}}

kde \varepsilon=1\,\! pro \sgn (p) = -1\,\! a pro \varepsilon=-1\,\! pro \sgn (p)=1\,\!.

Rovinný řez[editovat | editovat zdroj]

Rovinným řezem geometrického útvaru U rovinou \rho se nazývá průnik roviny \rho a útvaru U.

Rovinný řez plochy rovinou, ve které leží normála plochy, se nazývá normálovým řezem plochy.

Související články[editovat | editovat zdroj]