Plocha

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Tento článek pojednává o geometrické ploše. O virtuální ploše v počítači pojednává článek Plocha (operační systém).

Plocha označuje v matematice a fyzice dvojrozměrný geometrický útvar. Příkladem ploch jsou rovina, kulová plocha, povrch válce nebo kuželová plocha. Přesné matematické definice se v různých kontextech a v různých teoriích liší.

Výraz plocha se někdy nesprávně používá nejen pro označení geometrického útvaru, ale také pro označení obsahu geometrického útvaru.

Plochy v euklidovském prostoru[editovat | editovat zdroj]

V dalším předpokládejme, že plocha je podmnožina třírozměrného euklidovského prostoru. Můžeme ji definovat jako množinu všech bodů, jejichž souřadnice vyhovují rovnici

F(x,y,z)=0,

kde F je funkce, která má v každém bodě spojitou parciální derivaci alespoň prvního řádu a na žádné otevřené množině není identicky rovna nule.

Body plochy, v nichž je alespoň jedna z těchto parciálních derivací nenulová, se nazývají regulární body plochy, zatímco body, v nichž jsou všechny parciální derivace prvního řádu nulové označujeme jako singulární body. Příkladem singulárního bodu je např. vrchol kužele.

Singulární bod, v němž funkce F má alespoň jednu nenulovou parciální derivaci druhého řádu, se nazývá kónický bod plochy.

Plocha určená svojí normálou se označuje jako orientovaná plocha.

Rovnici plochy lze vyjádřit v různých tvarech.

Implicitní rovnice plochy[editovat | editovat zdroj]

Implicitní rovnice plochy má tvar

F(x,y,z)=0

Parametrické rovnice[editovat | editovat zdroj]

Uvažujme plochu, jejíž souřadnice jsou vyjádřeny soustavou rovnic

x=x(u,v)
y=y(u,v)
z=z(u,v)

Tato soustava rovnic představuje parametrické vyjádření plochy, přičemž u, v jsou parametry plochy. Každou dvojici u, v z určitého oboru \Omega nazýváme bodem plochy. Předpokládáme přitom, že tyto rovnice jsou na \Omega spojité a mají spojité nebo po částech spojité parciální derivace prvního řádu podle u a v.

Explicitní rovnice plochy[editovat | editovat zdroj]

Pokud lze předchozí rovnice plochy převést na tvar

z=f(x,y),

pak hovoříme o explicitní rovnici plochy.

Základní rovnice plochy[editovat | editovat zdroj]

Vztahy mezi normálou plochy \mathbf{n}, rádiusvektorem \mathbf{r} a jejich derivacemi určují tzv. základní rovnice plochy. Tyto rovnice lze pro plochu určenou \mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v) uvést v různých tvarech.

Weingartenovy rovnice plochy[editovat | editovat zdroj]

Weingartenovy rovnice plochy určují vztahy mezi derivacemi vektorů \mathbf{n} a \mathbf{r}.

\frac{\part\mathbf{n}}{\part u} = \frac{FM-GL}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{FL-EM}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part v}
\frac{\part\mathbf{n}}{\part v} = \frac{FN-GM}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{FM-EN}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part v}
\frac{\part\mathbf{r}}{\part u} = \frac{MF-NE}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part u} + \frac{ME-LF}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part v}
\frac{\part\mathbf{r}}{\part v} = \frac{MG-NF}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part u} + \frac{MF-LG}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part v}

kde E, F, G jsou základní veličiny plochy prvního řádu a L, M, N jsou základní veličiny plochy druhého řádu.

Gaussovy rovnice plochy[editovat | editovat zdroj]

Gaussovy rovnice plochy umožňují určit druhou derivaci polohového vektoru \mathbf{r}.

\frac{\part^2\mathbf{r}}{\part u^2} = \frac{G\frac{\part E}{\part u} - 2F\frac{\part F}{\part u} + F\frac{\part E}{\part v}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{-F\frac{\part E}{\part u} + 2E\frac{\part F}{\part u} - E\frac{\part E}{\part v}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part v} + L\mathbf{n}
\frac{\part^2\mathbf{r}}{\part u\part v} = \frac{G\frac{\part E}{\part v} - F\frac{\part G}{\part u}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{E\frac{\part G}{\part u} - F\frac{\part E}{\part v}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part v} + M\mathbf{n}
\frac{\part^2\mathbf{r}}{\part v^2} = \frac{-F\frac{\part G}{\part v} + 2G\frac{\part F}{\part v} - G\frac{\part G}{\part u}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{E\frac{\part G}{\part v} - 2F\frac{\part F}{\part v} + F\frac{\part G}{\part u}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part v} + N\mathbf{n}

kde E, F, G jsou základní veličiny plochy prvního řádu a L, M, N jsou základní veličiny plochy druhého řádu.

Codazziho rovnice plochy[editovat | editovat zdroj]

Codazziho (nebo také Mainardiho) rovnice plochy určují vztahy mezi základními veličinami plochy prvního řádu E, F, G a základními veličinami plochy druhého řádu L, M, N.

(EG-2F^2+GE)\left(\frac{\part L}{\part v} - \frac{\part M}{\part u}\right) - (EN-2FM+GL)\left(\frac{\part E}{\part v} - \frac{\part F}{\part u}\right) + \begin{vmatrix} E & \frac{\part E}{\part u} & L \\ F & \frac{\part F}{\part u} & M \\ G & \frac{\part G}{\part u} & N \end{vmatrix} = 0
(EG-2F^2+GE)\left(\frac{\part M}{\part v} - \frac{\part N}{\part u}\right) - (EN-2FM+GL)\left(\frac{\part F}{\part v} - \frac{\part G}{\part u}\right) + \begin{vmatrix} E & \frac{\part E}{\part v} & L \\ F & \frac{\part F}{\part v} & M \\ G & \frac{\part G}{\part v} & N \end{vmatrix} = 0

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

\begin{pmatrix} \frac{\part x}{\part u} & \frac{\part y}{\part u} & \frac{\part z}{\part u} \\ \frac{\part x}{\part v} & \frac{\part y}{\part v} & \frac{\part z}{\part v} \end{pmatrix}

Body plochy, v nichž má tato matice hodnost h=2 jsou regulárními body. Je-li hodnost matice h<2, pak jde o singulární body.

  • Máme-li plochu zadanou rovnicemi, které mají všude v \Omega nenulovou parciální derivaci prvního řádu a uvedená matice má v každém bodě hodnost h=2, pak plochu označujeme jako hladkou.

Související články[editovat | editovat zdroj]


Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]