Válec

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Tento článek pojednává o geometrickém objektu. Další významy jsou uvedeny v článku Válec (rozcestník).

Válec je v prostorové geometrii těleso, vymezené dvěma rovnoběžnými podstavami a pláštěm. Plášť je rozvinutelná plocha, všechny povrchové (tvořící) přímky pláště jsou rovnoběžné a pokud jsou k podstavám kolmé, hovoříme o kolmém válci. V opačném případě se jedná o válec kosý. Vzdálenost mezi podstavami se nazývá výška válce. Vzdálenost mezi dvěma podstavami podél pláště (tj. podél povrchové přímky) se nazývá strana válce.

Je-li podstavou kruh, pak válec označíme jako kruhový. Kolmý kruhový válec nazýváme rotačním válcem. Přímku procházející středy obou podstav rotačního válce nazýváme osou rotace.

Rotační válec, r je poloměr a h je výška.

Rotační válec[editovat | editovat zdroj]

Nejčastěji se válcem rozumí rotační válec, kolmý válec, jehož podstavou je kruh. Má také řadu různých aplikací.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

  • Pro objem rotačního válce platí
V = \pi  r^2 h\,\implies\,h=V/(\pi  r^2)

kde r je poloměr podstavy a h je výška válce.

  • Obsah pláště rotačního válce je
Q = 2\pi  r h\,, obsah podstavy je
P = \pi  r^2\,

Pro obsah celého povrchu rotačního válce pak platí

S = 2\pi  r(r+h)\,
  • Obecný řez válce rovinou je elipsa, je-li rovina kolmá k jeho ose, je to kružnice a je-li s osou rovnoběžná, je to obdélník nebo přímka.
  • Označíme-li si na podstavě válce libovolný bod (kromě středu) a pak valíme válec po rovině, pak označený bod opisuje cykloidu.


Válcová plocha a prostor[editovat | editovat zdroj]

Válcový prostor a plocha.

Jednoduchou představu rotačního válce lze rozšířit a zobecnit. Mějme jednoduchou uzavřenou křivku k, která leží v rovině. Body, které leží na vzájemně rovnoběžných přímkách procházejících libovolným bodem křivky k, tvoří válcovou plochu. Část prostoru ohraničená válcovou plochou se nazývá válcový prostor.

Rovnice[editovat | editovat zdroj]

Válcová plocha (kvadratický válec) bývá označována podle řídící křivky.

Obecný válec

Eliptický kvadratický válec[editovat | editovat zdroj]

Eliptický kvadratický válec lze vyjádřit rovnicí

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

Řídící křivkou eliptického válce je elipsa ležící v rovině z=0 s rovnicí \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 a tvořící přímky válce jsou rovnoběžné s osou z.

Pro a=b se jedná o rotační válec s osou rotace z.

Hyperbolický kvadratický válec[editovat | editovat zdroj]

Hyperbolický kvadratický válec lze vyjádřit rovnicí

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1

Řídící křivkou hyperbolického válce je hyperbola ležící v rovině z=0 s rovnicí \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 a tvořící přímky válce jsou rovnoběžné s osou z.

Parabolický kvadratický válec[editovat | editovat zdroj]

Parabolický kvadratický válec lze vyjádřit rovnicí

y^2=2px

Řídící křivkou parabolického válce je parabola ležící v rovině z=0 s rovnicí y^2=2px a tvořící přímky válce jsou rovnoběžné s osou z.

Obecný válec[editovat | editovat zdroj]

Obecnou válcovou plochu, jejíž řídící křivka leží v rovině z=0 a má rovnici f(x,y)=0, a její tvořící přímky jsou rovnoběžné s osou z, lze zapsat rovnicí

f(x,y)=0

Obecně lze říci, že pokud v rovnici plochy chybí jedna z proměnných, pak se jedná o rovnici válcové plochy, jejíž tvořící přímky jsou rovnoběžné s osou, která odpovídá chybějící proměnné, a jejíž řídící křivka má stejnou rovnici jako daná plocha a leží v rovině kolmé k tvořícím přímkám.

Jsou-li tvořící přímky rovnoběžné s vektorem (a_1,a_2,a_3), pak lze rovnici válcové plochy převést na tvar

F(a_3 x-a_1 z, a_3 y-a_2 z) = 0

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Objem válce určíme ze vztahu

V = Sv,

kde S je obsah podstavy a v je výška válce.

Obsah povrchu válce je dán vztahem

P = 2S+Q,

kde S je obsah podstavy a Q je obsah pláště válce.

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • Ottův slovník naučný, heslo Válec. Sv. 26, str. 351

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]

  • Slovníkové heslo válec ve Wikislovníku
Logo Wikimedia Commons
Wikimedia Commons nabízí obrázky, zvuky či videa k tématu