Válec

Tento článek pojednává o geometrickém objektu. Další významy jsou uvedeny v článku Válec (rozcestník).

Válec je v prostorové geometrii těleso, vymezené dvěma rovnoběžnými podstavami a pláštěm. Plášť je rozvinutelná plocha, všechny povrchové (tvořící) přímky pláště jsou rovnoběžné a pokud jsou k podstavám kolmé, hovoříme o kolmém válci. V opačném případě se jedná o válec kosý. Vzdálenost mezi podstavami se nazývá výška válce. Vzdálenost mezi dvěma podstavami podél pláště (tj. podél povrchové přímky) se nazývá strana válce.

Je-li podstavou kruh, pak válec označíme jako kruhový. Kolmý kruhový válec nazýváme rotačním válcem. Přímku procházející středy obou podstav rotačního válce nazýváme osou rotace.

Rotační válec, r je poloměr a h je výška.

Rotační válec [editovat]

Nejčastěji se válcem rozumí rotační válec, kolmý válec, jehož podstavou je kruh. Má také řadu různých aplikací.

Vlastnosti [editovat]

Pro objem rotačního válce platí

$V = \pi r^2 h\,\implies\,h=V/(\pi r^2)$

kde $r$ je poloměr podstavy a $h$ je výška válce.

Obsah pláště rotačního válce je

$Q = 2\pi r h\,$ , obsah podstavy je

$P = \pi r^2\,$

Pro obsah celého povrchu rotačního válce pak platí

$S = 2\pi r(r+h)\,$

Obecný řez válce rovinou je elipsa, je-li rovina kolmá k jeho ose, je to kružnice a je-li s osou rovnoběžná, je to obdélník nebo přímka.
Označíme-li si na podstavě válce libovolný bod (kromě středu) a pak valíme válec po rovině, pak označený bod opisuje cykloidu.

Válcová plocha a prostor [editovat]

Válcový prostor a plocha.

Jednoduchou představu rotačního válce lze rozšířit a zobecnit. Mějme jednoduchou uzavřenou křivku $k$ , která leží v rovině. Body, které leží na vzájemně rovnoběžných přímkách procházejících libovolným bodem křivky $k$ , tvoří válcovou plochu. Část prostoru ohraničená válcovou plochou se nazývá válcový prostor.

Rovnice [editovat]

Válcová plocha (kvadratický válec) bývá označována podle řídící křivky.

Obecný válec

Eliptický kvadratický válec [editovat]

Eliptický kvadratický válec lze vyjádřit rovnicí

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

Řídící křivkou eliptického válce je elipsa ležící v rovině $z=0$ s rovnicí $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ a tvořící přímky válce jsou rovnoběžné s osou $z$ .

Pro $a=b$ se jedná o rotační válec s osou rotace $z$ .

Hyperbolický kvadratický válec [editovat]

Hyperbolický kvadratický válec lze vyjádřit rovnicí

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

Řídící křivkou hyperbolického válce je hyperbola ležící v rovině $z=0$ s rovnicí $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ a tvořící přímky válce jsou rovnoběžné s osou $z$ .

Parabolický kvadratický válec [editovat]

Parabolický kvadratický válec lze vyjádřit rovnicí

$y^2=2px$

Řídící křivkou parabolického válce je parabola ležící v rovině $z=0$ s rovnicí $y^2=2px$ a tvořící přímky válce jsou rovnoběžné s osou $z$ .

Obecný válec [editovat]

Obecnou válcovou plochu, jejíž řídící křivka leží v rovině $z=0$ a má rovnici $f(x,y)=0$ , a její tvořící přímky jsou rovnoběžné s osou $z$ , lze zapsat rovnicí

$f(x,y)=0$

Obecně lze říci, že pokud v rovnici plochy chybí jedna z proměnných, pak se jedná o rovnici válcové plochy, jejíž tvořící přímky jsou rovnoběžné s osou, která odpovídá chybějící proměnné, a jejíž řídící křivka má stejnou rovnici jako daná plocha a leží v rovině kolmé k tvořícím přímkám.

Jsou-li tvořící přímky rovnoběžné s vektorem $(a_1,a_2,a_3)$ , pak lze rovnici válcové plochy převést na tvar