Elipsa

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Elipsa
Tento článek pojednává o pojmu z geometrie. O lingvistickém pojmu pojednává článek Elipsa (lingvistika).

Elipsa je uzavřená křivka v rovině. Všechny body elipsy mají stejný součet vzdáleností od dvou pevně zvolených bodů — ohnisek. Elipsa patří mezi kuželosečky. Velký praktický význam má v astronomii, protože velmi přesně popisuje tvar dráhy těles v gravitačním poli centrálního tělesa.

Pojmosloví[editovat | editovat zdroj]

  • Průvodič je úsečka, spojující libovolný bod na elipse s ohniskem.
  • Střed elipsy je střed úsečky, jejíž konce tvoří ohniska.
  • Velká poloosa nebo hlavní poloosa je nejdelší spojnice středu elipsy a bodu na elipse.
  • Velká osa jspojení obou velkých poloos.
  • Malá poloosa nebo též vedlejší poloosa je nejkratší spojnice středu elipsy a bodu na jejím obvodu.
  • Lineární excenctrita nebo délková excenctrita je vzdálenost ohniska a středu elipsy.
  • Excentricita, číselná excentricita nebo také numerická excentricita je podíl vzdálenosti ohniska od středu elipsy a délky velké poloosy.


Rovnice[editovat | editovat zdroj]

Parametry elipsy:
a – délka hlavní poloosy
b – délka vedlejší poloosy
F1, F2 – ohniska
e – excentricita
p – parametr

Rovnici elipsy lze zapsat v různých tvarech.

Kanonický tvar[editovat | editovat zdroj]

Kanonický tvar rovnice elipsy v normální poloze (tzn. hlavní osa je rovnoběžná s osou x a střed má souřadnice [x_0,y_0]) je

\frac{{(x-x_0)}^2}{a^2}+\frac{{(y-y_0)}^2}{b^2}=1

V kartézských souřadnicích lze v normální poloze elipsu se středem v počátku vyjádřit rovnicí

\left({x\over a}\right)^2+\left({y\over b}\right)^2 = 1\,,

kde a je délka hlavní poloosy, b je délka vedlejší poloosy a [x,y] jsou souřadnice libovolného bodu elipsy. Veličina e = \sqrt{a^2-b^2} se nazývá excentricita elipsy (výstřednost) a vyjadřuje vzdálenost ohniska od středu elipsy.

Vrcholová rovnice[editovat | editovat zdroj]

Vrcholová rovnice elipsy má tvar

y^2 = 2px - \frac{p}{a}x^2,

kde p = \frac{b^2}{a} je tzv. parametr elipsy. Tato rovnice vyjadřuje elipsu, jejíž hlavní vrchol leží v počátku souřadné soustavy a hlavní osa je rovnoběžná s osou x.

Rovnice kuželosečky[editovat | editovat zdroj]

Z rovnice kuželosečky lze získat rovnici elipsy v normální poloze, pokud jsou splněny následující podmínky

\sgn a_{11} = \sgn a_{22} = \sgn (a_{22} a_{13}^2 + a_{11} a_{23}^2 - a_{11} a_{22} a_{33})
a_{12}=0
|a_{11}|<|a_{22}|

Elipsa zadaná rovnicí kuželosečky splňující uvedené podmínky má hlavní poloosu o délce

a = \sqrt{\frac{a_{22}a_{13}^2+a_{11}a_{23}^2-a_{11}a_{22}a_{33}}{a_{11}^2 a_{22}}}

Délka vedlejší poloosy je

b = \sqrt{\frac{a_{22}a_{13}^2+a_{11}a_{23}^2-a_{11}a_{22}a_{33}}{a_{22}^2 a_{11}}}

Střed elipsy má souřadnice

\left[-\frac{a_{13}}{a_{11}},-\frac{a_{23}}{a_{22}}\right]

Parametrické rovnice[editovat | editovat zdroj]

Elipsu lze vyjádřit parametrickými rovnicemi

x = a\,\cos t
y = b\,\sin t

kde t\in\langle 0,2\pi \rangle je tzv. excentrická anomálie.

Rovnice v polárních souřadnicích[editovat | editovat zdroj]

V polárních souřadnicích lze v případě, že ohnisko F_2 leží v počátku souřadnicové soustavy a polární osou je polopřímka F_2B psát rovnici elipsy ve tvaru

\rho = \frac{p}{1+\varepsilon\cos\varphi},

kde \varepsilon = e/a < 1 je tzv. číselná excentricita a p je parametr elipsy. Číselná excentricita vyjadřuje míru zploštění elipsy, míru odlišnosti od kružnice. Má smysl ji porovnávat i pro různě velké elipsy. Geometrický význam parametru je polovina délky tětivy vedené ohniskem kolmo na hlavní osu.

Pokud v počátku souřadnicové soustavy leží střed elipsy a polární osou je polopřímka SB, pak dostáváme rovnici

\rho^2 = \frac{b^2}{1-\varepsilon^2 \cos^2 \varphi}

pro \varepsilon<1.

Geometrické vlastnosti elipsy[editovat | editovat zdroj]

O elipse říkáme, že je v normální poloze, je-li její hlavní osa rovnoběžná s osou x nebo y.

Elipsu řadíme mezi kuželosečky, protože ji lze zkonstruovat jako řez rotační kuželové plochy rovinou. Rovina řezu není kolmá k ose kužele, neprochází jeho vrcholem a rovina s ní rovnoběžná vedená vrcholem nemá s kuželem žádný společný bod.

Každá přímka procházející středem S elipsy je jejím průměrem. Ze dvou na sebe kolmých průměrů m a n s pomocí trojúhelníkové konstrukce (viz Konstrukce elipsy) můžeme sestrojit sdružené průměry ma a na, v jejichž koncovými body prochází rovnoběžky s na a ma, které jsou zároveň tečnami elipsy, a vytvářejí tak rovnoběžník. Jediné 2 sdružené průměry, které jsou na sebe kolmé, jsou osy elipsy. Dva sdružené průměry omezené body náležícími elipse jednoznačně určují elipsu.

Odrazová vlastnost elipsy: Máme-li eliptické zrcadlo a v jednom ohnisku zdroj světla, všechny paprsky se podle zákona odrazu odrazí do jediného bodu — druhého ohniska. Žádná jiná křivka nemá tuto vlastnost, takže ji lze použít jako alternativní definici elipsy.

Obsah plochy ohraničené elipsou lze určit ze vzorce


S = \pi a b \,,

kde a,b jsou poloosy a \pi je Ludolfovo číslo.

Obvod (délku elipsy) lze určit pomocí vztahu

 o = 4aE (\varepsilon),

kde funkce E je úplný eliptický integrál druhého druhu, nebo přibližných vzorců


o \approx \pi \left[{{3\over 2}\left(a+b\right) - \sqrt{ab} }\right]\,,

o \approx {\pi\over 2} \left[{a + b + \sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}\right]\,,

částečným součtem nekonečné řady


o = 2\pi a \left[{1 - \left({1\over 2}\right)^2\varepsilon^2 - \left({1\cdot 3\over 2\cdot 4}\right)^2{\varepsilon^4\over 3} - \left({1\cdot 3\cdot 5\over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^2{\varepsilon^6\over5} - \dots}\right]\,,

Speciálním případem elipsy je kružnice, u které obě ohniska splývají. Excentricita je pak nulová, obě poloosy stejně dlouhé a říkáme jim poloměr.

Limitním případem elipsy je parabola, kterou lze chápat jako elipsu s jedním nevlastním ohniskem.

Konstrukce elipsy[editovat | editovat zdroj]

Na tomto obrázku vidíme sestrojení elipsy s využitím afinity. Kružnice k1 a k2 jsou zde netradičně pojmenovány jako (C1) a (C2). Střed S je zde znám jako bod O.

Afinním obrazem kružnice je elipsa (nebo kružnice) a z této úvahy můžeme vyvodit následující konstrukci[1]:

Trojúhelníková konstrukce[editovat | editovat zdroj]

Je zadán střed S, osy o1 a o2, velikosti poloos a (hlavní), b (vedlejší).

Postup[editovat | editovat zdroj]

Sestrojíme soustředné kružnice v bodě S kružnice k1 a k2, které mají poloměry velikosti a a b. Vedeme libovolnou polopřímku p vycházející z bodu S. Pak bod M je průsečíkem přímek p1 a p2: zároveň platí, že p1 || o1, p2 || o2.
Bod m1 je průsečík přímky p1 s kružnicí k1.
Bod m2 je průsečík přímky p2 s kružnicí k2.
Bod M (a všechny body takto sestrojené) se nachází mezi kružnicemi k1 a k2 nebo přímo na kružnicích (v případě hlavních a vedlejších vrcholů).

Rozdílová: proužková konstrukce elipsy. Používáme rozdíl a - b.
Součtová: proužková konstrukce elipsy. Používáme součet a + b.

Proužková konstrukce[editovat | editovat zdroj]

Elipsa je určena hlavní osou o1, hlavními vrcholy A a B a bodem M, který bude ležet na elipse, ale není vrcholem elipsy.

Postup[editovat | editovat zdroj]

Rozdílová konstrukce (viz obrázek): První krok pro získání velikosti poloosy b je podobný s trojúhelníkovou konstrukcí: sestrojíme k hlavní ose o1 kolmici m1 a rovnoběžku m2 které procházejí známým bodem M. Kružnice k1 se středem v S má poloměr velikosti a. Vznikl nám tak bod M1 který je průsečíkem kolmice m1 a kružnice k1. Bod M1 spojíme přímkou m se středem S a nyní je už zřejmý bod M2, jenž je průsečíkem m s m2. Vzdálenost M2 od S je hledaná velikost poloosy b.
Bodem M povedeme rovnoběžku , m || .
Průsečík této přímky m´ s hlavní poloosou o1 nazveme P1. Vzniklá úsečka MP1 má velikost b.
Průsečík této přímky m´ s vedlejší poloosou o2 nazveme P2. Vzniklá úsečka MP2 má velikost a. Nyní si na okraji pomocného pruhu papíru označíme vzdálenosti MP2 a MP1 do jedné přímky M - P1 - P2 (z tohoto plyne název proužková konstrukce). Poté přikládáme proužek papíru tak, aby značka bodu P2 byla na vedlejší poloose o2 a zároveň značka bodu P1 byla na hlavní poloose o1. Značka bodu M nám tak bude opisovat hledanou elipsu. Tento typ konstrukce se nazývá rozdílová. Požívá se i součtová konstrukce, kterou můžete vidět na obrázku vpravo.

Příčková konstrukce elipsy. Hledání průsečíků, které leží na elipse.

Příčková konstrukce[editovat | editovat zdroj]

Elipsa je v tomto případě dána dvojicí sdružených průměrů RQ a MN, které na sebe nejsou kolmé (viz Geometrické vlastnosti elipsy).

Postup[editovat | editovat zdroj]

V bodech R a Q sestrojíme rovnoběžky s druhým sdruženým průměrem MN. V bodech M a N sestrojíme rovnoběžky s druhým sdruženým průměrem RQ. Vznikne nám rovnoběžník s vrcholy M1N1R1Q1, které jsou průsečíky rovnoběžek k průměrům MN a RQ.
Sdružené průměry se protínají v průsečíku S, který je středem elipsy.
Výtvoříme si čtveřici soustředných (dle středu S) souřadnicových systémů, jejichž počátky budou vrcholy vzniklého rovnoběžníku M1N1R1Q1 a poloosy budou strany rovnoběžníku. Na všech poloosách si stejně vyznačíme vhodné jednotky (př. 1, 2, 3, 4). Poloosy souřadných systémů se stýkají v koncových bodech sdružených průměrů MNRQ. Jednotky máme již vyznačené na rovnoběžkách sdružených průměrů, tak je ještě stejně vyznačíme přímo na sdružených průměrech MN a RQ, a to tak, že střed S je počátkem.
Nyní budeme hledat body náležící elipse. Začneme například body nad sdruženým průměrem MN v souřadnicovém systému určeným body NSQ. Proložíme přímku bodem N a souřadnicí (např. 2) na poloose rovnoběžné k NM, na které leží bod Q. Poté proložíme přímku bodem M a souřadnicí 2 na poloose určené body SQ (SQ náleží průměru RQ). Průsečík takto proložených přímek nám dává bod ležící na elipse.
(Pozn. zmiňované poloosy nejsou poloosami elipsy, ale souřadných systémů.)

Tato elipsa nemá určené osy ani vrcholy, abychom je zjistili, musíme použít Rytzovu konstrukci os elipsy.

Rytzova konstrukce os elipsy.

Rytzova konstrukce os[editovat | editovat zdroj]

Elipsa je dána dvojicí omezených sdružených průměrů MN a RQ.

Postup[editovat | editovat zdroj]

Sestojíme přímku p kolmou k jednomu ze sdružených průměrů (např. RQ, tak aby procházela středem S (průsečík sdružených průměrů). Vzdálenost |RS| je shodná se vzdáleností |SP|, bod P leží na přímce p. Proložíme přímku body PM.
Najdeme střed O úsečky PM. Sestrojíme kružnici k o poloměru |OS|. Průsečíky kružnice k s přímkou určenou body P, O a M nazveme 1 a 2. Sestrojíme přímku procházející průsečíkem 1 a středem S a přímku procházející průsečíkem 2 a středem S. Tyto přímky jsou na sebe kolmé a leží na nich osy elipsy. Velikost hlavní a vedlejší poloosy získáme ze vzdáleností |2M| a |M1|.

Elipsa ve fyzice[editovat | editovat zdroj]

Johannes Kepler objevil, že planety se kolem Slunce pohybují po elipsách s malou excentricitou. To je první Keplerův zákon. Později Isaac Newton vysvětlil tento fakt jako důsledek zákona gravitace.

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. Konstruktivní geometrie: str. 88-94. Jaroslav Černý a Marie Kočandrlová. Vydavatelství ČVUT, Praha 1998. ISBN 80-01-01815-6

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]