Cykloida

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Cykloida generovaná valícím se kolem

Cykloida je transcendentní cyklická křivka, kterou vytvoří bod pevně spojený s kružnicí, která se valí (kotálí) po přímce.

Cykloida má tvar donekonečna se opakujících oblouků.

Prostá cykloida[editovat | editovat zdroj]

Prostá cykloida

Pokud bod pevně spojený s kružnicí leží na jejím obvodu, pak při valení této kružnice po přímce opisuje tento bod prostou (obecnou, obyčejnou) cykloidu.

Prostou cykloidu lze vyjádřit parametricky:

x = a (t - \sin t),
y = a (1 - \cos t),

kde a je poloměr kružnice a parametr t je úhel otočení kotálející se kružnice.

První, resp. druhou polovinu prvního oblouku prosté cykloidy lze vyjádřit v explicitním tvaru

x = a \arccos \frac{a-y}{a} - \sqrt{y(2a-y)}

pro x\in\langle 0,\pi a \rangle, resp.

x = a\left(2\pi - \arccos\frac{a-y}{a}\right) + \sqrt{y(2a-y)}

pro x\in\langle \pi a,2 \pi a\rangle.

Perioda cykloidy je 2\pi a.

Délka oblouku dané větve prosté cykloidy od hrotu do bodu [x(t),y(t)] pro t\in\langle 0,2 \pi \rangle je

s = 4a\left(1-\cos\frac{t}{2}\right)

Dosazením periody získáme pro délku jedné větve prosté cykloidy výraz

s=8a

Obsah plochy ohraničené jednou větví prosté cykloidy je

S = 3\pi a^2

Poloměr křivosti v bodě různém od hrotu prosté cykloidy je

R = 4a \left|\sin\frac{t}{2}\right|,

takže poloměr křivosti ve vrcholu je maximální:

R = 4a.

Nejjednoduší přirozená rovnice prosté cykloidy je

R^2+s^2= 16a^2, s\in\langle -4a,+4a \rangle,

kde však oblouk s počítáme od vrcholu.

Evolutou cykloidy je shodná cykloida, která je ve směru osy x posunuta o \pi a souhlasně s původní cykloidou a ve směru osy y je posunuta o 2a nesouhlasně s orientací původní cykloidy.

Zkrácená a prodloužená cykloida[editovat | editovat zdroj]

Zkrácená cykloida
Prodloužená cykloida

Pokud bod pevně spojený s kutálející se kružnicí neleží na obvodu této kružnice, ale jeho vzdálenost od středu kružnice o poloměru a je d, pak pro d<a získáme cykloidu zkrácenou a pro d>a cykloidu prodlouženou.

Parametrické rovnice zkrácené, resp. prodloužené cykloidy lze zapsat ve tvaru

x = a t - d \sin t
y = a - d \cos t

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]

Logo Wikimedia Commons
Wikimedia Commons nabízí obrázky, zvuky či videa k tématu