Inflexní bod

Průběh funkce, inflexním bodem je x₄

Inflexní bod je takový bod grafu funkce, ve kterém dochází k přechodu mezi konvexní a konkávní částí grafu. V inflexním bodě se mění zakřivení grafu funkce a tečna grafu v tomto bodě graf protíná. Na obrázku je inflexním bodem např. $x_4$.

Inflexní body, konvexnost a konkávnost lze rozlišit podle vyšších derivací.

Je-li v bodě $a$ splněna podmínka $f^{\prime\prime}(a)=0$ a současně $f^{\prime\prime\prime}(a) \ne 0$, pak má funkce $f(x)$ v bodě $a$ inflexní bod.

Pokud je druhá derivace funkce $f(x)$ v bodě $a$ nenulová, pak je funkce v tomto bodě konvexní nebo konkávní.

Pokud je ve stacionárním bodě $a$ nulová nejen první, ale i druhá derivace, musíme určit hodnoty dalších derivací v bodě $a$.

Pokud je druhá a třetí derivace nulová, pak k určení inflexních bodů musíme použít vyšší derivace. Je-li tedy v takovém případě $f^{\prime\prime}(a) = f^{\prime\prime\prime}(a)= ... =f^{(n-1)}(a) = 0$ a $f^{(n)} \neq 0$, kde $n \geq 2$, pak v bodě $a$ platí

• pro $n$ sudé a $f^{(n)}(a) \neq 0$ je funkce v bodě $a$ ryze konvexní nebo konkávní
• pro $n$ liché a $f^{(n)}(a) > 0$ má funkce v bodě $a$ inflexní bod, přičemž v tomto bodě přechází z polohy pod tečnou do polohy nad tečnou
• pro $n$ liché a $f^{(n)}(a) < 0$ má funkce v bodě $a$ inflexní bod, přičemž v tomto bodě přechází z polohy nad tečnou do polohy pod tečnou

Související články

• Průběh funkce
• Stacionární bod
• Extrém funkce
• Konvexnost a konkávnost funkce