Křivka

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Tento článek pojednává o geometrickém útvaru. O rodu ptáků pojednává článek Křivka (rod ptáků).

Křivka je v matematice geometrický jednorozměrný objekt, případně zobrazení z úsečky do nějakého matematického prostoru (tzv. parametrizovaná křivka). Jednoduchý příklad křivky je například kružnice nebo přímka.

Formální definice[editovat | editovat zdroj]

Je-li M nějaký matematický prostor (například Eukleidovský prostor, varieta, topologický prostor) a I interval reálných čísel, pak křivkou k rozumíme spojité zobrazení z I do M. Toto se někdy také nazývá parametrické vyjádření křivky. Pokud má smysl mluvit o derivaci k (t.j. pokud cílový prostor je Eukleidovský prostor nebo hladká varieta a derivace existuje v každém bodě), nazývá se křivka hladká, anebo diferencovatelná. Hladká křivka je regulární, pokud její derivace není v žádném bodě nulová. Křivka se nazývá uzavřená, pokud I je uzavřený interval [a,b] a k(a)=k(b). Množina \{k(x);\,x\in I\} se nazývá (geometrický) obraz křivky. Mají-li složky k_i křivky k na otevřeném intervalu (a,b) spojité derivace až do r-tého řádu, pak říkáme, že se jedná o křivku r-té třídy. Má-li křivka všechny derivace, říkáme někdy, že je třídy nekonečno, neboli nekonečně diferencovatelná.

Někdy se slovem křivka myslí jenom obraz křivky (v dřívější definici), t.j. množina bodů. Toto se někdy také nazývá neparametrická křivka.

Rovinná křivka[editovat | editovat zdroj]

Rovinnou křivkou rozumíme zobrazení

x = \phi(t)
y = \psi(t)

pro t \in \langle\alpha,\beta\rangle, kde \phi a \psi jsou spojité funkce.

Předpokládáme obvykle, že funkce \phi(t), \psi(t) jsou na intervalu \langle\alpha,\beta\rangle spojité a mají na tomto intervalu po částech spojité derivace \phi^\prime(t), \psi^\prime(t). Někdy se předpokládá, že funkce \phi, \psi jsou pouze spojité, pak se ale může stát že obraz křivky je celý čtverec.

Křivka je regulární, pokud pro žádné t nejsou derivace \phi^\prime(t), \psi^\prime(t) současně nulové. Křivku, která neprotíná sama sebe (t.j. je prostá) označujeme jako jednoduchou. Pokud platí současně \phi(\alpha)=\phi(\beta), \psi(\alpha)=\psi(\beta), tzn. počáteční bod křivky splývá s bodem koncovým, pak křivku označíme jako uzavřenou.

Rovnici obrazu rovinné křivky lze často vyjádřit ve formě funkční závislosti proměnných x, y, tzn.

y=f(x),

popř. implicitně

F(x,y)=0.

Křivku označíme jako rektifikovatelnou, pokud má konečnou délku, kterou lze vyjádřit jako

l = \int_\alpha^\beta \sqrt{{\phi^\prime}^2(t)+{\psi^\prime}^2(t)}\mathrm{d}t

Někdy se také slovem křivka myslí množina bodů \{[\phi(t), \psi(t)];\, t\in<\alpha,\beta>\}[zdroj?].

Jordanova křivka[editovat | editovat zdroj]

Jednoduchou uzavřenou rektifikovatelnou křivku (která nemusí být po částech hladká) označujeme jako Jordanovu křivku. Jordanova křivka je uzavřená, takže rozděluje rovinu na dvě souvislé oblasti. Tu, která je omezená označujeme jako vnitřek křivky (nebo Jordanovu oblast), zbytek roviny pak jako vnějšek křivky.

Orientace křivky[editovat | editovat zdroj]

Na neparametrické hladké křivce (t.j. množině, která je obrazem parametrické hladké křivky) můžeme zvolit dvě orientace, což je volba směru, kterým se křivka pohybuje. Formálněji, je to volba báze jejího (jednorozměrného) tečného prostoru v každém bodě. Tvoří-li uzavřená křivka hranici určité oblasti \Omega, pak řekneme, že je kladně orientovaná vzhledem k \Omega, pokud oblast \Omega zůstává po levé straně křivky (při pohybu po kladně orientované křivce jde o pohyb proti směru hodinových ručiček). Formálněji, křivka je kladně orientována, pokud normálový vektor k oblasti \Omega a tečný vektor ke křivce určen její orientací tvoří kladnou bázi tečného prostoru (souřadnice těchto vektorů napsány ve sloupcích vedle sebe tvoří matici, která má kladný determinant). V opačném případě se jedná o záporně orientovanou křivku.

Příklady rovinných křivek[editovat | editovat zdroj]

Prostorová křivka[editovat | editovat zdroj]

Prostorovou křivkou rozumíme zobrazení

x = x(t)
y = y(t)
z = z(t)

pro t \in \langle\alpha,\beta\rangle, kde x, y a z jsou spojité funkce.

Uvedené rovnice křivky bývají obvykle zapisovány ve vektorovém tvaru

\mathbf{r} = \mathbf{r}(t),

kde \mathbf{r} představuje rádiusvektor.


Křivku v prostoru lze také zadat jako průnik dvou ploch, např.

z=f(x,y)
z=g(x,y)

nebo

F(x,y,z)=0
G(x,y,z)=0.

Jsou-li rovnice popisující křivku algebraické, pak křivku označujeme jako algebraickou. Pokud uvedené rovnice nejsou algebraické, pak říkáme, že křivka je transcendentní.

Někdy se také slovem křivka myslí množina bodů \{(x(t), y(t), z(t));\, t\in<\alpha,\beta>\}.

Příklady prostorových křivek[editovat | editovat zdroj]

Oblouk křivky[zdroj?][editovat | editovat zdroj]

Obloukem křivky k: \langle a,b\rangle \to \R^n od bodu t_0 \in \langle a,b\rangle do bodu t \in \langle a,b\rangle se nazývá délka části křivky mezi k(t_0) a k(t). Pokud je křivka diferencovatelná (t.j. k má derivace), dá se spočíst vzorcem

s = \int_{t_0}^t \sqrt{{\sum_i \left(\frac{\mathrm{d}k_i}{\mathrm{d}t}\right)}^2} \mathrm{d} t

kde k_i je i-tá složka křivky.

Diferenciál

\mathrm{d}s = \sqrt{\frac{\mathrm{d}\mathbf{k}}{\mathrm{d}t}\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{k}}{\mathrm{d}t}}\mathrm{d}t = \sqrt{\mathrm{d}\mathbf{k}\cdot\mathrm{d}\mathbf{k}} = \sqrt{\sum_i\mathrm{d}k_i^2}

nazýváme diferenciál (prvek, element) oblouku nebo lineární prvek (element) křivky[zdroj?].

Křivky vyplňující prostor[editovat | editovat zdroj]

Obrazem křivky můžou být i množiny, které mají větší topologickou dimenzi než jedna. Kupříkladu Hilbertova křivka je spojité zobrazení úsečky na čtverec, t.j. spojitá křivka, která vyplní celý (dvou-rozměrný) čtverec.

Hilbert curve.png

Na obrázku je prvních 6 iterací konstrukce Hilbertovy křivky. Hilbertova křivka je pak limitou těchto křivek. Je spojitá, ale není prostá. Její složky jsou spojité funkce, které nemají derivaci v žádném bodě. Jiný známý příklad křivky, která vyplní čtverec, je tzv. Sierpinského křivka.

Klasifikace, který topologický prostor je spojitým obrazem intervalu [0,1], řeší tzv. Hahn–Mazurkiewiczova věta:

Speciálně tedy každá kompaktní souvislá varieta se dá "vyplnit" křivkou.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Krivka explicitne.png Krivka parametricky.png Krivka aprox.png Krivka inter.png

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]

Literatura[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]