Řetězovka

Řetězovka je křivka, kterou vytvoří řetěz (lépe řečeno homogenní dokonale pevné a ohebné vlákno), které je na svých koncích zavěšeno (ne nutně ve stejné výšce) v homogenním gravitačním poli.

Rovnice

Řetězovka je transcendentní rovinná křivka popsaná funkcí

$y = \frac{a}{2}\left(\mathrm{e}^\frac{x}{a} + \mathrm{e}^{-\frac{x}{a}}\right) = a \cosh\frac{x}{a}$

kde $a$ je kladný parametr určující rozměry křivky, rovný např. jejímu poloměru křivosti ve vrcholu.

Vlastnosti

Podobně jako u paraboly tvar řetězovky nezávisí na parametru $a$, všechny řetězovky jsou podobné.

Vrchol řetězovky leží v bodě $[0,a]$. V tomto vrcholu má řetězovka styk třetího řádu s parabolou $\textstyle y = \frac{x^2}{2a}+a$.

Délka oblouku řetězovky od vrcholu po bod se souřadnicí $x$ je

$s = a \sinh\frac{x}{a}$.

Poloměr křivosti určuje vztah

$R = \frac{y^2}{a} = a\cosh^2\frac{x}{a}$.

Evolventou řetězovky je traktrix.

Řetězovku dostaneme při řešení fyzikální úlohy hledání minimální polohové energie dokonale pevného a ohebného stejnorodého vlákna zavěšeného ve dvou bodech v homogenním gravitačním poli. Vyžaduje použití matematického aparátu variačního počtu.

Historie

Problém řetězovky poprvé předložil Jakub Bernoulli. Pojem řetězovka pochází od Christiána Huygense. Problém úspěšně vyřešil Jakubův bratr Jan Bernoulli roku 1691.

Užití

Řetězovka se užívá v architektuře. Tvar této křivky mají samonosné klenby starých staveb stejně, jako část některých moderních staveb.

Další aplikací řetězovek je konstrukce a návrh vedení vysokého a velmi vysokého napětí, kdy zavěšené elektrické vodiče vytváří křivky dosti podobné ideálním řetězovkám. V těchto speciálních aplikacích je vždy jedním z nejdůležitějších konstrukčních parametrů předpokládaný celkový průvěs vodiče v podmínkách extrémního namáhání vlivem vysoké námrazy na vodiči (popřípadě v kombinaci s působením silného větru).

Související články

• Rovinná křivka