Řetězovka

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Řetězovka pro tři různá uchycení konců

Řetězovka je křivka, kterou vytvoří řetěz (lépe řečeno homogenní dokonale pevné a ohebné vlákno), které je na svých koncích zavěšeno (ne nutně ve stejné výšce) v homogenním gravitačním poli.

Rovnice[editovat | editovat zdroj]

Řetězovka je transcendentní rovinná křivka popsaná funkcí

y = \frac{a}{2}\left(\mathrm{e}^\frac{x}{a} + \mathrm{e}^{-\frac{x}{a}}\right) = a \cosh\frac{x}{a}

kde a je kladný parametr určující rozměry křivky, rovný např. jejímu poloměru křivosti ve vrcholu.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Podobně jako u paraboly tvar řetězovky nezávisí na parametru a, všechny řetězovky jsou podobné.

Vrchol řetězovky leží v bodě [0,a]. V tomto vrcholu má řetězovka styk třetího řádu s parabolou \textstyle y = \frac{x^2}{2a}+a.

Délka oblouku řetězovky od vrcholu po bod se souřadnicí x je

s = a \sinh\frac{x}{a}.

Poloměr křivosti určuje vztah

R = \frac{y^2}{a} = a\cosh^2\frac{x}{a}.

Evolventou řetězovky je traktrix.

Řetězovku dostaneme při řešení fyzikální úlohy hledání minimální polohové energie dokonale pevného a ohebného stejnorodého vlákna zavěšeného ve dvou bodech v homogenním gravitačním poli. Vyžaduje použití matematického aparátu variačního počtu.

Historie[editovat | editovat zdroj]

Problém řetězovky poprvé předložil Jacob Bernoulli. Pojem řetězovka pochází od Christiaana Huygense. Problém úspěšně vyřešil Jakubův bratr Johann Bernoulli roku 1691.

Užití[editovat | editovat zdroj]

Řetězovka se užívá v architektuře. Tvar této křivky mají samonosné klenby starých staveb stejně, jako část některých moderních staveb.

Další aplikací řetězovek je konstrukce a návrh vedení vysokého a velmi vysokého napětí, kdy zavěšené elektrické vodiče vytváří křivky dosti podobné ideálním řetězovkám. V těchto speciálních aplikacích je vždy jedním z nejdůležitějších konstrukčních parametrů předpokládaný celkový průvěs vodiče v podmínkách extrémního namáhání vlivem vysoké námrazy na vodiči (popřípadě v kombinaci s působením silného větru).

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]