Variační počet

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Variační počet je oblast matematiky, která poskytuje metody umožňující nalezení takové křivky (plochy, nadplochy) z dané třídy hladkých křivek (ploch, nadploch), která minimalizuje (maximalizuje) určitý funkcionál na uvažované třídě křivek (ploch, nadploch). Z množiny definovaných funkcí tedy vybíráme takovou funkci, pro kterou nabývá daný integrál extrémní hodnoty.

Metody variačního počtu se často využívají např. ve fyzice.

Obsah

1 Elementární úlohy variačního počtu
2 Extrémy závislé na více funkcích
- 2.1 Parametrické variační problémy
3 Extrémy funkcionálů s vyššími derivacemi
4 Extrémy funkcionálů závislých na funkci více proměnných
5 Související články
6 Literatura
7 Externí odkazy

[editovat] Elementární úlohy variačního počtu

Mezi elementární úlohy variačního počtu patří nalezení extrému funkcionálu typu $\int_a^b F(x,y,y^\prime)\mathrm{d}x$ .

Uvažujme na otevřené podmnožině $Ω$ trojrozměrného euklidovského prostoru spojitou funkci $F (x, u, v)$ . Pro každou křivku $y = y (x)$ pro $x \in \langle a,b\rangle$ , která je třídy $T 1$ a pro kterou platí $[x,y(x),y^\prime(x)] \in \Omega$ , je funkce $F(x,y(x),y^\prime(x))$ spojitá na $\langle a,b\rangle$ a každé takové křivce $K$ lze přiřadit určité číslo

$I(K) = \int_a^b F(x,y(x),y^\prime(x))\mathrm{d}x$

Mějme křivku

$K_0 = \{[x,y] \in E_2|y=y_0(x),x \in \langle a,b\rangle\}$

a nechť $K 0$ patří k množině všech křivek třídy $T 1$ v $\langle a,b\rangle$ určených vztahem $K = \{[x,y] \in E_2|y=y(x),x \in \langle a,b\rangle\}$ . Funkcionál $I (K)$ pak pro křivku $K 0$ nabývá svého absolutního minima, resp. absolutního maxima na dané množině křivek, pokud

$I(K) \geq I(K_0)$

resp.

$I(K) \leq I(K_0)$

pro všechny křivky $K$ .

Existuje-li takové $\varepsilon$ -okolí (nultého řádu) křivky $K 0$ , že pro všechny křivky $K$ v tomto okolí je splněna uvedená podmínka minima, resp. maxima, pak funkcionál $I (K)$ nabývá pro $K 0$ v tomto okolí silného relativního minima, resp. silného relativního maxima.

Existuje-li takové $\varepsilon$ -okolí prvního řádu křivky $K 0$ , že pro všechny křivky $K$ v tomto okolí je splněna uvedená podmínka minima, resp. maxima, pak funkcionál $I (K)$ nabývá pro $K 0$ v tomto okolí slabého relativního minima, resp. slabého relativního maxima.

Absolutní extrém je zároveň silným i slabým relativním extrémem.

[editovat] Variace funkce

Nechť na $\langle a,b\rangle$ je $K_0=\{[x,y]\in E_2|y=y_0(x),x\in\langle a,b\rangle\}$ pevně určená křivka třídy $T 1$ a $K = \{[x,y]\in E_2|y=y(x),x\in\langle a,b\rangle\}$ libovolná křivka. Variací funkce $y 0 (x)$ v $\langle a,b\rangle$ nazýváme rozdíl

δ y 0 (x) = y (x) - y 0 (x)

Variace funkce je tedy také funkcí, která je závislá na volbě křivky $K 0$ .

[editovat] Variace funkcionálu

Pro rozdíl funkcionálů $I (K)$ a $I (K 0)$ dostaneme s použitím variace funkce výraz

$I(K) - I(K_0) = \int_a^b \{F(x,y_0+\delta y_0,y_0^\prime+\delta y_0^\prime) - F(x,y_0,y_0^\prime)\}$ ,

kde $y_0=y_0(x), \delta y_0=\delta y_0(x), \delta y_0^\prime = y^\prime(x)-y_0^\prime(x)$ .

Pro malé $\varepsilon$ -ové okolí prvního řádu křivky $K 0$ lze předchozí vztah upravit do tvaru

$\delta I(K_0) = I(K)-I(K_0) = \int_a^b \{\frac{\part F}{\part y}(x,y_0,y_0^\prime)\delta y_0 + \frac{\part F}{\part y^\prime}(x,y_0,y_0^\prime)\delta y_0^\prime\}\mathrm{d}x$

Výraz $δ I (K 0)$ označujeme jako variaci funkcionálu $I(K) = \int_a^b F(x,y(x),y^\prime(x))\mathrm{d}x$ podél křivky $K 0$ .

Variaci funkcionálu $δ I (K 0)$ lze zapsat v různých tvarech.

Uvažujme nyní pouze takové křivky $K$ , pro něž platí

δ y (a) = 0

δ y (b) = 0

Jde tedy o křivky, které začínají i končí ve stejných bodech. Koncové body množiny povolených křivek jsou tedy pevně dány.

Použitím těchto okrajových podmínek lze $δ I (K 0)$ upravit do tzv. Lagrangeova tvaru

$\delta I(K_0) = \int_a^b \{F_y^\prime(x,y,y^\prime) - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}F_{y^\prime}^\prime(x,y,y^\prime)\}\delta y \mathrm{d}x$ ,

kde $F_y^\prime = \frac{\part F}{\part y}, F_{y^\prime}^\prime = \frac{\part F}{\part y^\prime}$ .

Místo předchozího vztahu lze také použít tzv. Du Boisův-Reymondův tvar

$\delta I(K_0) = \int_a^b \{F_{y^\prime}^\prime(x,y,y^\prime) - N(x)\}\delta y^\prime \mathrm{d}x$ ,

kde $N(x) = \int_a^x F_y^\prime(x,y,y^\prime)\mathrm{d}x$ .

[editovat] Eulerova rovnice

Platí, že pokud funkcionál $I(K) = \int_a^b F(x,y(x),y^\prime(x))\mathrm{d}x$ nabývá pro křivku $K_0 = \{[x,y] \in E_2|y=y_0(x),x \in \langle a,b\rangle\}$ svého extrému (absolutního nebo relativního) z množiny křivek $K$ , pro které platí $y (a) = y 0 (a), y (b) = y 0 (b)$ , pak funkce $y 0 (x)$ splňuje diferenciální rovnici

$F_y^\prime - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}F_{y^\prime}^\prime = 0$

Tato rovnice se nazývá Eulerova (diferenciální) rovnice příslušná danému variačnímu problému. Každé řešení této rovnice označujeme jako extremálu daného variačního problému.

V bodech křivky $K 0$ , v nichž je $F_{y^\prime y^\prime}^{\prime\prime}\neq 0$ , existuje také druhá derivace $y_0^{\prime\prime}(x)$ . Představuje-li křivka $K 0$ minimum funkcionálu $I$ , pak platí $F_{y^\prime y^\prime}^{\prime\prime} \leq 0$ , pokud jde o maximum, pak $F_{y^\prime y^\prime}^{\prime\prime} \leq 0$ .

[editovat] Speciální případy Eulerovy rovnice

Pokud lze daný funkcionál vyjádřit jako

$I = \int_a^b F(x,y^\prime)\mathrm{d}x$

pak se Eulerova rovnice redukuje na

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}F_{y^\prime}^\prime =0$

První integrál této rovnice má tvar $F_{y^\prime}^\prime=C$ , kde $C$ je konstanta.

Jiným speciálním případem dostaneme pro funkcionál tvaru

$I = \int_a^b F(y,y^\prime)\mathrm{d}x$

pro který je křivka $K 0$ takovou extremálou, že v jejích bodech platí $F_{y^\prime y^\prime}^{\prime\prime} \neq 0$ . Potom je možné provést následující úpravu

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(F(y,y^\prime)-y^\prime F_{y^\prime}^\prime(y,y^\prime)\right) = F_y^\prime y^\prime + F_{y^\prime}^\prime y^{\prime\prime} - y^{\prime\prime} F_{y^\prime}^\prime - y^\prime \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}F_{y^\prime}^\prime =$

$= y^\prime \left(F_y^\prime - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}F_{y^\prime}^\prime\right) = 0$

První integrál Eulerovy rovnice lze tedy pomocí předchozího vztahu vyjádřit jako

$F(y,y^\prime) - y^\prime F_{y^\prime}^\prime(y,y^\prime) = C$ ,

kde $C$ je konstanta.

[editovat] Extrémy závislé na více funkcích

Jedná se o nalezení extrému funkcionálu typu $\int_a^b F(x,y_1,...,y_n,y_1^\prime,...,y_n^\prime)\mathrm{d}x$ .

Uvažujme na podmnožině $Ω$ prostoru $E n + 1$ spojitou funkci $F (x, u 1,..., u n, v 1,..., v n)$ se spojitými derivacemi do druhého řádu včetně. Nechť $L$ je množiny všech křivek třídy $T 1$ v intervalu $\langle a,b\rangle$ se společnými krajními body $A, B$ , přičemž pro křivky z $L$ platí $[x,y_1(x),...,y_n(x),y_1^\prime(x),...,y_n^\prime(x)]\in\Omega$ pro $x \in\langle a,b\rangle$ .

Cílem je nalézt takovou křivku $K 0$ z množiny křivek $L$ , pro niž na $L$ nabývá extrému funkcionál

$I = \int_a^b F(x,y_1,...,y_n,y_1^\prime,...,y_n^\prime)\mathrm{d}x$

Množina $L$ se nazývá definičním oborem funkcionálu.

Extrémy (absolutní i relativní) definujeme stejným způsobem jako v případě extrémů funkcionálu $\int_a^b F(x,y,y^\prime)\mathrm{d}x$ .

Jestliže křivka K definovaná $K = \{[x,y_1,...,y_n] \in E_{n+1}|y_i=y_i(x) \; \mbox{ pro } i=1,...,n, x\in\langle a,b\rangle\}$ s krajními body $A, B$ z definičního oboru $L$ funkcionálu $I = \int_a^b F(x,y_1,...,y_n,y_1^\prime,...,y_n^\prime)\mathrm{d}x$ je takovou křivkou, pro niž tento funkcionál nabývá extrému (absolutního nebo relativního), pak funkce $y i (x)$ vyhovují soustavě diferenciálních rovnic

$\frac{\part F}{\part y_i} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{\part F}{\part y_i^\prime} = 0$

pro $i = 1,..., n$ .

Tato soustava se nazývá soustavou Eulerových rovnic příslušných danému variačnímu problému. Každé řešení uvedené soustavy označujeme jako extremálu daného variačního problému.

Pokud křivka K, která je řešením soustavy Eulerových rovnic představuje minimum funkcionálu daného funkcionálu, pak jsou splněny nerovnosti (tzv. Legendreovy podmínky)

$F_{y_1^\prime y_1^\prime}^{\prime\prime} \geq 0$

$\begin{vmatrix}F_{y_1^\prime y_1^\prime}^{\prime\prime} & F_{y_1^\prime y_2^\prime}^{\prime\prime} \\ F_{y_2^\prime y_1^\prime}^{\prime\prime} & F_{y_2^\prime y_2^\prime}^{\prime\prime} \end{vmatrix} \geq 0$

…

$\begin{vmatrix}F_{y_1^\prime y_1^\prime}^{\prime\prime} & F_{y_1^\prime y_2^\prime}^{\prime\prime} & \cdots & F_{y_1^\prime y_n^\prime}^{\prime\prime} \\ F_{y_2^\prime y_1^\prime}^{\prime\prime} & F_{y_2^\prime y_2^\prime}^{\prime\prime} & \cdots & F_{y_2^\prime y_n^\prime}^{\prime\prime} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ F_{y_n^\prime y_1^\prime}^{\prime\prime} & F_{y_n^\prime y_2^\prime}^{\prime\prime} & \cdots & F_{y_n^\prime y_n^\prime}^{\prime\prime} \end{vmatrix} \geq 0$

V případě maxima platí podmínky, které získáme z předchozích vztahů záměnou symbolu $\geq$ postupně za $\leq, \geq, \leq, \cdots$ .

[editovat] Parametrické variační problémy

Uvažujme funkcionál

$I = \int_{t_1}^{t_2} F(y_1,...,y_n,y_1^\prime,...,y_n^\prime)\mathrm{d}t$

na množině parametricky popsaných křivek v prostoru $E n$ s popisem $K = \{[y_1,...,y_n]\in E_n|y_i=y_i(t) \;\mbox{ pro } i=1,...,n,t\in\langle t_1,t_2\rangle\}$ .

Funkcionál $I$ musí být invariantní vůči regulární transformaci parametru $t$ , což lze zajistit požadavkem, aby $F$ byla positivně homogenní funkcí prvního stupně vzhledem k proměnným $y_i^\prime$ pro $i = 1,..., n$ , tzn. musí platit

$F(y_1,...,y_n,ky_1^\prime,...,ky_n^\prime)=k F(y_1,...,y_n,y_1^\prime,...,y_n^\prime)$ pro libovolné

k > 0

.

Variační problémy s takovýmto funkcionálem se nazývají parametrické (nebo homogenní) variační problémy.

Takové homogenní funkce je však možné vyjádřit jako

$F = \sum_{i=1}^n F_{y_i^\prime}^\prime y_i^\prime$

Za předpokladu diferencovatelnosti $F$ odtud plynou rovnice

$\sum_{i=1}^n F_{y_i^\prime y_j^\prime}^{\prime\prime} y_i^\prime = 0$

pro $j = 1,..., n$ .

Pokud pro určitou křivku $K$ z množiny všech křivek $L$ s uvedeným parametrickým popisem nabývá funkcionál $I = \int_{t_1}^{t_2} F(y_1,...,y_n,y_1^\prime,...,y_n^\prime)\mathrm{d}t$ na množině $L$ extrému, pak v bodech této křivky je splněn systém Eulerových rovnic

$F_{y_i}^\prime - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} F_{y_i^\prime}^\prime = 0$

pro $i = 1,..., n$ .

[editovat] Extrémy funkcionálů s vyššími derivacemi

Jedná se o nalezení extrému funkcionálu

$I = \int_a^b F(x,y,y^\prime,...,y^{(n)})\mathrm{d}x$

Cílem je tedy nalezení extremální křivky $K_0 = \{[x,y]\in E_2|y=y_0(x),x\in\langle a,b\rangle\}$ na $\langle a,b\rangle$ , která je třídy $T n$ a leží v množině $L$ , tzn. v množině všech křivek třídy $T n$ ležících na intervalu $\langle a,b\rangle$ s okrajovými podmínkami

y (a) = y 0 (a)

$y^\prime(a) = y_0^\prime(a)$

…

$y^{(n-1)}(a) = y_0^{(n-1)}(a)$

y (b) = y 0 (b)

$y^\prime(b) = y_0^\prime(b)$

…

$y^{(n-1)}(b) = y_0^{(n-1)}(b)$

Křivka $K 0$ , pro niž uvedený funkcionál nabývá extrému na L splňuje tzv. Eulerovu-Poissonovu rovnici

$F_y^\prime - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}F_{y^\prime}^\prime + \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}F_{y^{\prime\prime}}^\prime - ... + {(-1)}^n \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}F_{y^{(n)}}^\prime = 0$

Každé řešení této rovnice označujeme jako extremálu daného variačního problému.

Podobné postupy lze použít při hledání extrému obecnějšího funkcionálu

$I = \int_a^b F\left(x,y_1,y_1^\prime,...,y_1^{(n_1)},y_2,y_2^\prime,...,y_2^{(n_2)},...,y_m,y_m^\prime,...,y_m^{(n_m)}\right) \mathrm{d}x$

Definičním oborem je množina křivek $K \in L$ s popisem

$K = \{[x,y_1,...,y_m]\in E_{m+1}|y_i=y_i(x) \; \mbox{ pro }i=1,...,m,x\in\langle a,b\rangle\}$ ,

kde $y i (x)$ mají v otevřeném intervalu obsahujícím $\langle a,b\rangle$ spojitou derivaci $y_i^{(n_i)}(x)$ pro $i = 1,..., m$ . Pro všechna $x\in\langle a,b\rangle$ přitom platí $[x,y_1(x),y_1^\prime(x),...,y_1^{(n_1)}(x),y_2(x),y_2^\prime(x),...,y_2^{(n_2)}(x),...,y_m(x),y_m^\prime(x),...,y_m^{(n_m)}(x)]\in\Omega$ , kde $Ω$ je množina argumentů funkce $F$ .

Ekvivalentem Eulerovy-Poissonovy rovnice je pak soustava Eulerových-Poissonových rovnic

$\sum_{k=0}^{n_i} {(-1)}^k \frac{\mathrm{d}^k}{\mathrm{d}x^k} F_{y_i^{(k)}}^\prime = 0$

pro $i = 1,..., m$ .

[editovat] Extrémy funkcionálů závislých na funkci více proměnných

Uvažujme funkci $F(x_i,f,f_i) = F\left(x_1,x_2,...,x_n,f,\frac{\part f}{\part x_1},\frac{\part f}{\part x_2},...,\frac{\part f}{\part x_n}\right)$ , která má spojité parciální derivace podle svých $(2 n + 1)$ argumentů do třetího řádu včetně v nějaké otevřené podmnožině $Ω$ (2n+1)-rozměrného prostoru. Je-li $L$ množina všech regulárních nadploch definovaných předpisem $N=\{[x1,x2,...,xn,u]\in E_{n+1}|u=f(x_1,x_2,...,x_n),[x_1,x_2,...,x_n]\in G^\prime\}$ , pro které platí $\left[x_1,x_2,...,x_n,f(x_1,x_2,...,x_n),\frac{\part f}{\part x_1}(x_1,x_2,...,x_n),\frac{\part f}{\part x_2}(x_1,x_2,...,x_n),...,\frac{\part f}{\part x_n}(x_1,x_2,...,x_n)\right]\in\Omega$ pro $[x_1,x_2,...,x_n]\in G^\prime$ , kde $G^\prime =G \cup S$ , kde $G$ je omezená oblast v prostoru $E n$ a $S$ je její hranice, pak lze definovat funkcionál

$I = {\int\cdots\int}_G F(x_i,f,f_i)\mathrm{d}x_1 \mathrm{d}x_2\cdots\mathrm{d}x_n$

O tomto funkcionálu říkáme, že nabývá pro regulární nadplochu $N 0$ definovanou $N_0 = \{[x1,x2,...,xn,u]\in E_{n+1}|u=f_0(x_1,x_2,...,x_n),[x_1,x_2,...,x_n]\in G^\prime\}$ a patřící do množiny $L$ absolutního minima, resp. absolutního maxima, na množině $L$ , pokud platí

$I(N)\geq I(N_0)$

resp.

$I(N)\leq I(N_0)$

pro každou nadplochu $N\in L$ .

Pokud pro regulární nadplochu $N_0 \in L$ , která splňuje okrajovou podmínku $f (x 1,..., x n) = φ(x 1,..., x n)$ pro všechna $[x_1,...,x_n]\in S$ , kde $φ$ je daná spojitá funkce na hranici $S$ oblasti $G$ , nabývá daný funkcionál extrému na množině všech regulárních nadploch z množiny $L$ vyhovujících dané okrajové podmínce, pak v bodech nadplochy $N 0$ je splněna parciální diferenciální rovnice

$F_f^\prime - \sum_{i=1}^n \frac{\part}{\part x_i}F_{f_i}^\prime = 0$ ,

kde $F_f^\prime = \frac{\part F}{\part f}, F_{f_i}^\prime = \frac{\part F}{\part f_i}$ pro $i = 1,2,..., n$ .

Tato rovnice se nazývá Eulerovou-Ostrogradského diferenciální rovnicí. Každá regulární nadplocha vyhovující této je označována jako $n$ -rozměrná extremální nadplocha (extremální varieta).

[editovat] Související články

Projekt Wikiknihy nabízí dokument na téma:

Stručné shrnutí variačního počtu

[editovat] Literatura

Rektorys, K. a spol.: Přehled užité matematiky II. Prometheus, Praha, 2000, 7. vydání. ISBN 80-7196-180-9

[editovat] Externí odkazy

Cyril Höschl, Historie variačního počtu: http://mechanika.euweb.cz/files/HistorieVariacnihoPoctu.html