Určitý integrál

Určitý integrál je matematický pojem, který funkci a dvěma číslům (tzv. mezím) přiřadí číslo (hodnotu integrálu). Určitý integrál z funkce je roven obsahu plochy ohraničené touto funkcí nebo dráze uražené tělesem, jehož rychlost je popsána touto funkcí.

Pro svoji úzkou souvislost s derivací a diferenciálními rovnicemi patří určitý i neurčitý integrál ke stěžejním pojmům diferenciálního počtu a má mnoho aplikací ve fyzice, technice, teorii pravděpodobnosti, funkcionální analýze i dalších oblastech matematiky a vědy.

Názorné vysvětlení

Fyzikální význam

Určitý integrál se využívá v řadě fyzikálních definic - například určitý integrál síly podle polohy je vykonaná práce, určitý integrál ze zrychlení je změna rychlosti, objemový integrál z hustoty je hmotnost tělesa apod.

Určitý integrál z rychlosti podle času je roven změně polohy během časového úseku od t₁ do t₂. Pokud polohu v závislosti na čase označíme $x(t)\,\!$, platí tedy

$x(t_2)-x(t1) = \int\limits_{t_1}^{t_2}v(t) \,dt\,\!$

Tento vzorec je zobecněním známého vztahu pro pohyb konstantní rychlostí

$x(t_2)-x(t_1) = v\cdot (t_2-t_1)\,\!$ neboli $\triangle x= v \cdot \triangle t\,\!$

Tyto vzorce se liší pouze v tom, že ten, který využívá integrál, lze použít i pro pohyb proměnlivou rychlostí.

Naproti tomu neurčitý integrál z rychlosti podle času je poloha. Argumentem integrálu je zde funkce představující závislost rychlosti na čase; výsledkem je množina funkcí, které představují závislost polohy na čase. Těchto funkcí (zvaných primitivní funkce) je nekonečně mnoho, jedna pro každou možnou počáteční polohu objektu. (To odpovídá fyzikální realitě, že ze znalosti rychlosti lze spočítat polohu objektu v čase t, jen pokud známe jeho polohu v nějakém čase t₀.)

Příklad: Pokud se těleso pohybuje volným pádem, pak jeho rychlost je $v(t) = -g.t\,\!$, kde $g\,\!$ je tíhové zrychlení a znaménko mínus vyjadřuje směr dolů. Pro polohu pak platí:

$x(t) = \int v(t)dt \,=\, \int -g.t\, dt = -\frac12 g t^2 + c \,\!$

Číslo $c \,\!$ se nazývá integrační konstanta, za níž dosazením různých hodnot dostaneme různé možné závislosti polohy na čase. Například funkce $x(t) = -\frac 12 g t^2 + 50 \,\!$ popisuje volný pád z výšky 50 metrů.

Určitý integrál lze spočítat jako rozdíl dvou hodnot neurčitého integrálu. Například výpočet dráhy uražené mezi časem 3 sekundy a 5 sekund se spočte tak, že zvolíme libovolnou z primitivních funkcí (zde je nejpřirozenější volit $x(t) = -\frac 12 g t^2 \,\!$ ) a spočteme její rozdíl v obou časových mezích:

$\int\limits_{3}^{5} -g.t \, dt\,\! = x(5) - x(3) = -\frac 12 g 5^2 - (-\frac 12 g 3^2) = -8.g$

Plocha pod křivkou

Integrál jako plocha pod křivkou.

Určitý integrál nezáporné funkce f(x) mezi nějakými dvěma body a, b je roven ploše obrazce omezeného přímkami x=a, x=b, osou x a křivkou definovanou grafem funkce f. Formálněji řečeno, takový integrál je roven míře množiny S definované jako

$S= \{(x,y) \in \mathbb{R}^2:a \leq x \leq b ,0 \leq y \leq f(x)\}$

Je-li funkce někde záporná, plocha nad křivkou se počítá záporně.

Značení

Integrál se značí stylizovaným protaženým písmenem S (z latinského summa). Toto značení vytvořil Gottfried Leibniz. Integrál z předchozího odstavce by se značil jako $\int\limits_a^b f(x)\,{\rm d}x$, kde znaménko ∫ značí integrování, a a b jsou integrační meze (jen u určitého integrálu), dx označuje proměnnou, podle které se integruje (původně označovalo infinitezimální hodnotu, dnes však slouží jen jako ryze symbolické označení bez dalšího významu).

Definice

Pro některé funkce integrál nemusí existovat (například Newtonův nebo Riemannův integrál z Dirichletovy funkce), nebo může být nekonečný, například

$\int\limits_0^1\frac{1}{x}dx \,=\, +\infty\,\!$

Existuje mnoho definic určitého integrálu. Tyto definice se liší množinou funkcí, které jsou podle nich integrovatelné, ale pokud pro několik definicí funkce integrovatelná je, pak je hodnota integrálu stejná.

Newtonův integrál

$\int\limits_a^bf(x)dx \,=\, F(b) - F(a) \,\!$ pro libovolnou primitivní funkci $F\,\!$, tj. pro takovou $F\,\!$, jejíž derivace je rovna $f\,\!$ na celém intervalu $<a,b>\,\!$

Zobecněný Newtonův integrál

Definice je stejná, jako u Newtonova integrálu, ovšem stačí, pokud derivace $F\,\!$, je rovna $f\,\!$ na intervalu $<a,b>\,\!$ až na konečně mnoho bodů. Díky tomu lze integrovat větší okruh funkcí (například po částech konstantní funkce).

Riemannův integrál

Riemann použil v roce 1854 závěry Cauchyho a definoval tzv. Riemannův integrál jako limitu nekonečného součtu. Šlo o první definici integrálu odpovídající dnešním měřítkům.

Lebesgueův integrál

Na základě Lebesgueovy míry vytvořil Lebesgue tzv. Lebesgueův integrál. Má podobnou definici jako Riemannův, ale třída integrovatelných funkcí je v něm mnohem širší - dokonce se bez axiomu výběru nedá prokázat, že existuje funkce, která není Lebesgueovsky integrovatelná.

Podobný postup použili i další matematici. Lebesgueův integrál a další, ještě pokročilejší integrály, umožňují integrovat širší třídy funkcí, platí pro ně silnější verze mnoha tvrzení a skýtají i mnoho jiných výhod. Patří mezi ně například Stieltjesův integrál nebo Kurzweilův integrál.

Vlastnosti

Záměna sumy a integrálu

Je-li dána řada funkcí $\displaystyle f_n(x)$ spojitých na intervalu $\langle a,b\rangle$ a pokud suma $\sum_{n=n_0}^\infty f_n(x)$ konverguje stejnoměrně, pak lze zaměnit sumu s integrálem:

$\sum_{n=n_0}^\infty{\int\limits_a^b{f_n(x)\,\mathrm{d}x}} = \int\limits_a^b{\sum_{n=n_0}^\infty{f_n(x)}\,\mathrm{d}x}$

Záměna limity a integrálu

Je-li $\displaystyle f(a,x)$ funkce spojitá na příslušných definičních oborech $\displaystyle a, x$ a pokud má integrovatelnou majorantu $\displaystyle g(x)$ takovou, že $\displaystyle |f(a,x)|< g(x)$ pro dané hodnoty parametru a že $\int_M g(x)\,\mathrm{d}x<+\infty$, pak lze zaměnit limitu s integrálem:

$\lim_{a\to a_0}\int_M{f(a,x)\,\mathrm{d}x}=\int_M{\lim_{a\to a_0}f(a,x)\,\mathrm{d}x}$

Záměna derivace a integrálu

Viz Integrace metodou derivování podle parametru.

Aplikace

Související informace naleznete v článku Aplikace integrálu.

Možnosti použití určitého integrálu jsou velmi rozsáhlé.

Pomocí určitého integrálu lze určit např. obsah rovinného obrazce, délku oblouku rovinné křivky, obsah rotační plochy nebo objem rotačního tělesa.

Ve fyzice pak určitý integrál můžeme použít při výpočtu např. statických momentů, momentů setrvačnosti, těžiště tělesa nebo hmotnosti.

Nevlastní integrál

Pokud primitivní funkce v jedné z mezí nemá limitu, pak se Newtonův integrál definuje pomocí jednostranné limity, například u spodní meze takto (F je primitivní funkce k f):

$\int\limits_a^b f(x)dx = \lim_{t\to a+}\int\limits_t^b f(x)dx \,\!$

Například $\int\limits_0^1\frac 1xdx=+\infty, \,\, \int\limits_0^1\frac 1{\sqrt x}dx=2\,\!$

Podobně je tomu, pokud některá z mezí leží v nekonečnu:

$\int\limits_a^{+\infty} f(x)dx = \lim_{t\to +\infty}\int\limits_a^t f(x)dx \,\!$

Například $\int\limits_1^{+\infty}\frac 1xdx=+\infty, \,\, \int\limits_1^{+\infty}\frac 1{x^2}dx=1\,\!$

Komplexní integrál

Související informace naleznete v článku Integrál komplexní funkce.

V komplexních číslech se zpravidla užívají křivkové integrály. Pokud tyto integrály probíhají po uzavřené křivce v komplexní rovině, lze je zpravidla snadno spočíst pomocí reziduové věty, Cauchyova vzorce nebo Cauchyovy věty.

Vícerozměrný integrál

Související informace naleznete v článku Vícerozměrný integrál.

Integraci pro funkce více proměnných lze zavést podobně jako pro funkce jedné proměnné. Integrace probíhá vždy na určité oblasti $\displaystyle\Omega$. Je-li $\displaystyle f(x_1,x_2,...,x_n)$ funkcí $\displaystyle n$ proměnných, pak její integrál na určité n-rozměrné oblasti $\displaystyle\Omega$ označujeme jako vícerozměrný ($n$-rozměrný, např. dvourozměrný, trojrozměrný apod.) integrál, přičemž jej zapíšeme některým z následujících způsobů

${\iint\cdots\int}_{\!\!\!\Omega} f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\,\mathrm{d}\Omega = {\iint\cdots\int}_{\!\!\!\Omega} f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\,\mathrm{d}x_1 \mathrm{d}x_2 \cdots \mathrm{d}x_n = {\iint \cdots \int}_{\!\!\!\Omega} f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\,\mathrm{d}^n x$

Počet integračních znaků $\int$ odpovídá počtu proměnných, přes které integrujeme. Je-li ze zápisu integrálu zjevné, že se jedná o vícerozměrný integrál, pak zapisujeme pouze jeden integrační znak, např.

$\int_\Omega f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\,\mathrm{d}\Omega \,$

Vícerozměrné integrály se obvykle řeší převodem na vícenásobnou integraci pomocí Fubiniovy věty.

Odkazy

Literatura

• Rektorys, K. a spol.: Přehled užité matematiky I.. Prometheus, Praha, 2003, 7. vydání. ISBN 80-7196-179-5

Související články

• Primitivní funkce
• Hlavní hodnota integrálu
• Diferenciální počet
• Integrální rovnice
• Gaussův integrál
• Nevlastní integrál
• Numerická integrace
• Integrál pohybu

Externí odkazy

• Online výpočet integrálu
• MAW - matematické výpočty online umožňuje online výpočet integrálů, včetně krokování postupu a automatického návrhu, jakou metodu pro výpočet použít.