Riemannův integrál
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Riemannův integrál je nejstarším a nejjednodušším druhem integrálu v matematice. Jeho základní myšlenka byla známa již starým Řekům, kteří jejím užitím dokázali počítat obsahy a objemy některých geometrických objektů (například jehlanu, kužele či koule). Pojmenován byl po německém matematikovi Bernhardu Riemannovi. Klasická definice umožňuje jeho použití pouze na reálné ose. Existují sice některá jeho zobecnění, která lze aplikovat i na vícerozměrné případy, v těchto oblastech však byl Riemannův integrál překonán a téměř zcela nahrazen integrálem Lebesgueovým.
Obsah |
[editovat] Motivace
|
|
|
Definice Riemannova integrálu vychází z intuitivní představy měření obsahu plochy pod grafem funkce. Chceme-li přibližně zjistit tento obsah, provedeme to v praxi pravděpodobně tak, že položíme do měřené plochy nějaké geometrické útvary, jejichž obsah dovedeme spočíst, tak, aby nepřesahovaly hranici měřené oblasti a vzájemně se nepřekrývaly. Sečtemi-li nyní obsahy všech vložených útvarů, dostaneme zřejmě číslo, které je menší než obsah měřené plochy — tzv. dolní odhad. Obdobně (pokrytím celé měřené plochy známými útvary) získáme tzv. horní odhad. Obsah měřené plochy pak leží mezi dolním a horním odhadem. Budeme-li používat k vykládání plochy stále menší a menší útvary, dokážeme oba odhady stále zpřesňovat, až teoreticky při vyložení plochy nekonečně mnoha nekonečně malými útvary dosteneme horní i dolní odhad roven stejnému číslu — obsahu měřené plochy. Pro jednoduchost se při zavádění Riemannova integrálu používají za ony útvary, jimiž se plocha vykládá, obdélníky se stranami rovnoběžnými s osami soustavy souřadnic.
[editovat] Přesná definice
V definici jsou využity pojmy supremum a infimum.
V souladu s tím, co bylo řečeno v motivaci, definujeme horní a dolní Riemannův integrál takto:
- Dělením Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): D
intervalu Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): (a,b)
nazýváme (n+1)-tici Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): t_{0},...,t_{n}
takovou, že Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): a=t_{0}<t_{1}<...<t_{n}=b
.
- Horní součet pro funkci Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): f
a dělení Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): D intervalu Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): (a,b) definujeme jako
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): S(f,D) = \sum^{n}_{i=1} \sup_{x \in (t_{i-1},t_{i})} [f(x) (t_{i}-t_{i-1})]
.
- Horní Riemannův integrál funkce Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): f
od Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): a do Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): b definujeme takto:
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): (HR)\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x = \inf\{S(f,D); D\mbox{ je dělení intervalu }(a,b)\}
.
- Dolní součet pro funkci Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): f
a dělení Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): D intervalu Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): (a,b) definujeme jako
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): s(f,D)= \sum^{n}_{i=1} \inf_{x \in (t_{i-1},t_{i})} [f(x) (t_{i}-t_{i-1})]
.
- Konečně dolní Riemannův integrál funkce Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): f
od Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): a do Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): b definujeme takto:
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): (DR)\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x = \sup\{s(f,D); D\mbox{ je dělení intervalu }(a,b)\}
.
Dále opět v souladu s motivací definujeme Riemannův integrál funkce f od a do b jako společnou hodnotu dolního a horního Riemannova integrálu, pokud se tyto integrály rovnají. Pokud se dolní a horní Riemannův integrál od sebe liší, říkáme, že Riemannův integrál funkce f neexistuje. Jestliže tedy existuje Riemannův integrál, tak platí
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x = (HR)\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x = (DR)\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x
.
Pokud existuje Riemannův integrál funkce Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): f(x) , pak o funkci Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): f(x)
říkáme, že je integrovatelná v Riemannově smyslu.
[editovat] Vlastnosti
- Každá funkce, která je na daném intervalu po částech spojitá, je na tomto intervalu také integrovatelná.
- Mějme funkce Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): f(x), g(x)
integrovatelné na intervalu Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \langle a,b\rangle
. Pak platí
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \int_a^b [c_1 f(x)+c_2 g(x)] \mathrm{d}x = c_1 \int_a^b f(x) \mathrm{d}x + c_2 \int_a^b g(x) \mathrm{d}x
,
- kde Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): c_1, c_2
jsou konstanty. Na daném intervalu je tedy integrovatelná také funkce Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): c_1 f(x)+c_2 g(x)
.
- Integrovatelná je také funkce Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): |f(x)|
, přičemž platí
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \left|\int_a^b f(x) \mathrm{d}x \right| \leq \int_a^b |f(x)| \mathrm{d}x
.
- Také funkce Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): f(x)g(x)
je integrovatelná, avšak
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \int_a^b f(x) g(x) \mathrm{d}x \neq \int_a^b f(x)\mathrm{d}x \; \int_a^b g(x) \mathrm{d}x
.
- Pokud je funkce Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): g(x)
na intervalu Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \langle a,b\rangle kladná a zdola ohraničená nebo záporná a shora ohraničená, tedy Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): 0 > K \geq |g(x)|
, pak je integrovatelná také funkce Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): f(x)g(x) .
- Zvolíme-li na intervalu Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \langle a,b\rangle
bod Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): c takový, že Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): a<c<b
, pak lze psát
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \int_a^c f(x)\mathrm{d}x + \int_c^b f(x) \mathrm{d}x
.
- Vzájemná záměna mezí intervalu, na němž integrujeme, vede ke změně znaménka integrálu, tzn.
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \int_a^b f(x) \mathrm{d}x = - \int_b^a f(x) \mathrm{d}x
.
- Pokud pro všechna Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): x \in \langle a,b\rangle
platí Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): f(x) \geq 0
, pak
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \int_a^b f(x) \mathrm{d}x \geq 0
.
- Pokud navíc alespoň v jednom bodě Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): c \in \langle a,b\rangle
, v němž je funkce Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): f(x)
spojitá, platí také Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): f(c)>0
, pak
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \int_a^b f(x) \mathrm{d}x >0
.
- Je-li funkce Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): f(x)
na intervalu Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \langle a,b\rangle spojitá a současně platí Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \int_a^b f^2(x) \mathrm{d}x=0
, pak v celém intervalu Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \langle a,b\rangle
platí Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): f(x)=0
.
- Je-li na intervalu Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \langle a,b\rangle
Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): f(x) \geq g(x)
, pak platí také
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \int_a^b f(x)\mathrm{d}x \geq \int_a^b g(x)\mathrm{d}x
.
- Je-li na intervalu Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \langle a,b\rangle
funkce Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): f(x) omezená, tzn. Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): m \leq f(x) \leq M
, kde Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): m,M
jsou konstanty, a funkce Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): g(x) \geq 0
, pak platí nerovnosti
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): m\int_a^b g(x)\mathrm{d}x \leq \int_a^b f(x)g(x)\mathrm{d}x \leq M\int_a^b g(x)\mathrm{d}x
.
- Funkce Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): f(x), g(x)
, které jsou spojité na Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \langle a,b\rangle , splňují tzv. Schwarzovu nerovnost
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): {\left(\int_a^b f(x)g(x)\mathrm{d}x \right)}^2 \leq \int_a^b f^2(x)\mathrm{d}x \; \int_a^b g^2(x)\mathrm{d}x
.
- Můžeme definovat funkci Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): F(x)
proměnné Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): x vztahem
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): F(x) = \int_a^x f(t)\mathrm{d}t
.
- Funkce Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): F(x)
je spojitou funkcí proměnné Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): x a v každém bodě, v němž je Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): f(x) spojitá, má Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): F(x) derivaci, přičemž platí
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_a^x f(t)\mathrm{d}t = f(x)
.
- Podobně lze definovat funkci
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): G(x) = \int_x^b f(t)\mathrm{d}t
,
- pro jejíž derivaci dostaneme
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \frac{\mathrm{d}G}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_x^b f(t)\mathrm{d}t = -f(x)
.
- Pokud je funkce Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): f(x) \geq 0
pro všechny body Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): x \in \langle a,b\rangle
, pak hodnota integrálu Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \int_a^b f(x)\mathrm{d}x
je rovna obsahu plochy, jejíž obvod tvoří osy Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): x
, funkce Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): y=f(x)
a rovnoběžky s osou Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): y
, které mají rovnice Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): x=a, x=b .
- Je-li např. na intervalu Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \langle a,c\rangle
Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): f(x) \geq 0 a na intervalu Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \langle c,b\rangle Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): f(x) \leq 0
, pak plocha obrazce ohraničeného křivkou Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): y=f(x)
není rovna hodnotě integrálu Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \int_a^b f(x)\mathrm{d}x
, ale součtu integrálů Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \int_a^c f(x)\mathrm{d}x + \left|\int_c^b f(x)\mathrm{d}x \right| .
- Je-li funkce Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): f(x)
spojitá na Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \langle a,b\rangle a Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): F(x) je na tomto intervalu její libovolná primitivní funkce, pak platí (viz Newtonův integrál)
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \int_a^b f(x)\mathrm{d}x = F(b)-F(a)
.
[editovat] Související články
 |
Související články obsahuje Portál Matematika |
