Jehlan

Jehlan

Jehlan je trojrozměrné těleso. Jeho základnu (nebo také podstavu) tvoří mnohoúhelník. Vrcholy základny jsou spojeny s jedním bodem mimo rovinu základny - tento bod se obvykle nazývá vrchol jehlanu.

Kolmá vzdálenost vrcholu od roviny podstavy se nazývá výška jehlanu.

Obecné vlastnosti

Objem a povrch

Objem jehlanu se vypočítá jako

$V=\frac{S_p.v}{3} \,\!$,

kde $S_p \,\!$ je obsah podstavy a $v \,\!$ výška.

Povrch jehlanu se vypočítává jako součet obsahu základny a obsahu jednotlivých trojúhelníkových stěn - jejich počet je dán počtem stran základny.

$S = P + Q \,$,

kde $P$ je obsah podstavy a $Q$ je obsah pláště.

Na výše uvedených vzorcích je zajímavé, že pokud budu vrchol jehlanu posunovat v rovině rovnoběžné s rovinou základny, nemění se objem (obsah podstavy i výška zůstávají stejné), ale pouze povrch - ten může při posouvání vrcholu „dostatečně daleko“ v dané rovině růst nad všechny meze.

Souměrnost

Jehlan nemůže nikdy být středově souměrný.

Jehlan je osově souměrný pouze tehdy, je-li základna středově souměrná a průměr vrcholu jehlanu do roviny základny je shodný se středem souměrnosti základny (laičtěji: vrchol jehlanu musí ležet „kolmo nad středem souměrnosti základny“.). Osou souměrnosti je v takovém případě spojnice vrcholu se středem souměrnosti základny.

Jehlan může být rovinově souměrný pouze tehdy, je-li základna osově souměrná a průmět vrcholu jehlanu do roviny základny leží na ose souměrnosti základny. (Lidštěji: vrchol jehlanu musí ležet „kolmo nad osou souměrnosti základny“.) Rovinou souměrnosti je v takovém případě rovina určená osou souměrnosti základny a vrcholem jehlanu.

Další vlastnosti

Pokud tvoří základnu jehlanu mnohoúhelník o $n \,\!$ stranách, má jehlan:

• celkem $n + 1 \,\!$ vrcholů
• celkem $2.n \,\!$ hran
• celkem $n + 1 \,\!$ stěn

Jehlan je konvexní jen tehdy, je-li konvexní jeho základna.

Speciální případy

Pokud je základnou jehlanu pravidelný mnohoúhelník a vrchol leží kolmo nad těžištěm základny, mluvíme o pravidelném jehlanu. „Pravidelnost“ jehlanu obvykle podstatně zjednodušuje výpočet jeho objemu a povrchu.

Pravidelný čtyřstěn

Pravidelný čtyřstěn je jehlan, jehož základnu i všechny tři boční stěny jsou rovnostranné trojúhelníky. Tento čtyřstěn má stejný tvar všech stěn i délku všech hran - jedná se tedy o jedno z platónských těles.

Jeho objem $V \,\!$ a obsah $S \,\!$ lze vypočítat z délky jeho hrany:

• $S=a^2\sqrt{3} \,\!$
• $V=\begin{matrix}{1\over12}\end{matrix}a^3\sqrt{2} \,\!$

Jeho výšku lze vypočítat jako $v=(a/3) \sqrt{6}$ .

Pravidelný čtyřboký jehlan

Pravidelný čtyřboký jehlan a jeho rozvinutý povrch.

Pokud má jehlan čtvercovou základnu a vrchol kolmo nad průsečíkem úhlopříček základny, hovoříme o pravidelném čtyřbokém jehlanu.

Jeho objem $V \,\!$ a povrch $S \,\!$ lze vypočítat z délky strany základny $a \,\!$ a výšky $v \,\!$:

• $V = \frac{a^2.v}{3} \,\!$
• $S = a^2 + 4.\frac{a.\sqrt{v^2 + (\frac{a}{2})^2}}{2} = a.(a + \sqrt{4v^2 + a^2}) \,\!$

Související články

• Geometrický útvar
• Mnohostěn
• Komolý jehlan
• Válec
• Platónská tělesa