Jehlan

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Jehlan

Jehlan je trojrozměrné těleso. Jeho základnu (nebo také podstavu) tvoří mnohoúhelník. Vrcholy základny jsou spojeny s jedním bodem mimo rovinu základny - tento bod se obvykle nazývá vrchol jehlanu.

Kolmá vzdálenost vrcholu od roviny podstavy se nazývá výška jehlanu.

Obsah

1 Obecné vlastnosti
2 Speciální případy
- 2.1 Pravidelný čtyřstěn
- 2.2 Pravidelný čtyřboký jehlan
3 Externí odkazy
4 Související články

[editovat] Obecné vlastnosti

[editovat] Objem a povrch

Objem jehlanu se vypočítá jako

$V=\frac{S_p.v}{3} \,\!$ ,

kde $S_p \,\!$ je obsah podstavy a $v \,\!$ výška.

Povrch jehlanu se vypočítává jako součet obsahu základny a obsahu jednotlivých trojúhelníkových stěn - jejich počet je dán počtem stran základny.

$S = P + Q \,$ ,

kde $P$ je obsah podstavy a $Q$ je obsah pláště.

Na výše uvedených vzorcích je zajímavé, že pokud budu vrchol jehlanu posunovat v rovině rovnoběžné s rovinou základny, nemění se objem (obsah podstavy i výška zůstávají stejné), ale pouze povrch - ten může při posouvání vrcholu „dostatečně daleko“ v dané rovině růst nad všechny meze.

[editovat] Souměrnost

Jehlan nemůže nikdy být středově souměrný.

Jehlan je osově souměrný pouze tehdy, je-li základna středově souměrná a průmět vrcholu jehlanu do roviny základny je shodný se středem souměrnosti základny. (Lidštěji: vrchol jehlanu musí ležet „kolmo nad středem souměrnosti základny“.) Osou souměrnosti je v takovém případě spojnice vrcholu se středem souměrnosti základny.

Jehlan může být rovinově souměrný pouze tehdy, je-li základna osově souměrná a průmět vrcholu jehlanu do roviny základny leží na ose souměrnosti základny. (Lidštěji: vrchol jehlanu musí ležet „kolmo nad osou souměrnosti základny“.) Rovinou souměrnosti je v takovém případě rovina určená osou souměrnosti základny a vrcholem jehlanu.

[editovat] Další vlastnosti

Pokud tvoří základnu jehlanu mnohoúhelník o $n \,\!$ stranách, má jehlan:

celkem $n + 1 \,\!$ vrcholů
celkem $2.n \,\!$ hran
celkem $n + 1 \,\!$ stěn

Jehlan je konvexní tehdy a jen tehdy, je-li konvexní jeho základna.

[editovat] Speciální případy

Pokud je základnou jehlanu pravidelný mnohoúhelník a vrchol leží kolmo nad těžištěm základny, mluvíme o pravidelném jehlanu. „Pravidelnost“ jehlanu obvykle podstatně zjednodušuje výpočet jeho objemu a povrchu.

[editovat] Pravidelný čtyřstěn

Pravidelný čtyřstěn je jehlan, jehož základnu i všechny tři boční stěny jsou rovnostranné trojúhelníky. Tento čtyřstěn má stejný tvar všech stěn i délku všech hran - jedná se tedy o jedno z platónských těles.

Jeho objem $V \,\!$ a obsah $S \,\!$ lze vypočítat z délky jeho hrany: