Jehlan

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Jehlan

Jehlan je trojrozměrné těleso. Jeho základnu (nebo také podstavu) tvoří mnohoúhelník. Vrcholy základny jsou spojeny s jedním bodem mimo rovinu základny - tento bod se obvykle nazývá vrchol jehlanu.

Kolmá vzdálenost vrcholu od roviny podstavy se nazývá výška jehlanu.

Obecné vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Objem a povrch[editovat | editovat zdroj]

Objem jehlanu se vypočítá jako

V=\frac{S_p.v}{3} \,\!,

kde S_p \,\! je obsah podstavy a v \,\! výška.

Povrch jehlanu se vypočítává jako součet obsahu základny a obsahu jednotlivých trojúhelníkových stěn - jejich počet je dán počtem stran základny.

S = P + Q \,,

kde P je obsah podstavy a Q je obsah pláště.

Na výše uvedených vzorcích je zajímavé, že pokud budu vrchol jehlanu posunovat v rovině rovnoběžné s rovinou základny, nemění se objem (obsah podstavy i výška zůstávají stejné), ale pouze povrch - ten může při posouvání vrcholu „dostatečně daleko“ v dané rovině růst nad všechny meze.

Souměrnost[editovat | editovat zdroj]

Jehlan nemůže nikdy být středově souměrný.

Jehlan je osově souměrný pouze tehdy, je-li základna středově souměrná a průměr vrcholu jehlanu do roviny základny je shodný se středem souměrnosti základny (laičtěji: vrchol jehlanu musí ležet „kolmo nad středem souměrnosti základny“.). Osou souměrnosti je v takovém případě spojnice vrcholu se středem souměrnosti základny.

Jehlan může být rovinově souměrný pouze tehdy, je-li základna osově souměrná a průmět vrcholu jehlanu do roviny základny leží na ose souměrnosti základny. (Lidštěji: vrchol jehlanu musí ležet „kolmo nad osou souměrnosti základny“.) Rovinou souměrnosti je v takovém případě rovina určená osou souměrnosti základny a vrcholem jehlanu.

Další vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Pokud tvoří základnu jehlanu mnohoúhelník o  n \,\! stranách, má jehlan:

  • celkem  n + 1 \,\! vrcholů
  • celkem  2.n \,\! hran
  • celkem  n + 1 \,\! stěn

Jehlan je konvexní jen tehdy, je-li konvexní jeho základna.

Speciální případy[editovat | editovat zdroj]

Pravidelný čtyřstěn.

Pokud je základnou jehlanu pravidelný mnohoúhelník a vrchol leží kolmo nad těžištěm základny, mluvíme o pravidelném jehlanu. „Pravidelnost“ jehlanu obvykle podstatně zjednodušuje výpočet jeho objemu a povrchu.

Pravidelný čtyřstěn[editovat | editovat zdroj]

Pravidelný čtyřstěn je jehlan, jehož základnu i všechny tři boční stěny jsou rovnostranné trojúhelníky. Tento čtyřstěn má stejný tvar všech stěn i délku všech hran - jedná se tedy o jedno z platónských těles.

Jeho objem  V \,\! a obsah  S \,\! lze vypočítat z délky jeho hrany:

  • S=a^2\sqrt{3} \,\!
  • V=\begin{matrix}{1\over12}\end{matrix}a^3\sqrt{2} \,\!

Jeho výšku lze vypočítat jako v=(a/3) \sqrt{6} .

Pravidelný čtyřboký jehlan[editovat | editovat zdroj]

Pravidelný čtyřboký jehlan a jeho rozvinutý povrch.

Pokud má jehlan čtvercovou základnu a vrchol kolmo nad průsečíkem úhlopříček základny, hovoříme o pravidelném čtyřbokém jehlanu.

Jeho objem  V \,\! a povrch  S \,\! lze vypočítat z délky strany základny  a \,\! a výšky  v \,\! :

  •  V = \frac{a^2.v}{3} \,\!
  •  S = a^2 + 4.\frac{a.\sqrt{v^2 + (\frac{a}{2})^2}}{2} = a.(a + \sqrt{4v^2 + a^2}) \,\!
Vícerozměrná geometrická tělesa
d=2 trojúhelník čtverec šestiúhelník pětiúhelník
d=3 jehlan krychle, oktaedr krychloktaedr, kosočtevečný dvanáctistěn dvanáctistěn, dvacetistěn
d=4 5-nadstěn teserakt, 16-nadstěn 24-nadstěn 120-nadstěn,600-nadstěn
d=5 5-simplex penterakt, 5-ortoplex
d=6 6-simplex hexerakt, 6-ortoplex
d=7 7-simplex hepterakt, 7-ortoplex
d=8 8-simplex okterakt, 8-ortoplex
d=9 9-simplex ennerakt, 9-ortoplex
d=10 10-simplex dekerakt, 10-ortoplex
d=11 11-simplex hendekerakt, 11-ortoplex
d=12 12-simplex dodekerakt, 12-ortoplex
d=13 13-simplex triskaidekerakt, 13-ortoplex
d=14 14-simplex tetradekerakt, 14-ortoplex
d=15 15-simplex pentadekerakt, 15-ortoplex
d=16 16-simplex hexadekerakt, 16-ortoplex
d=17 17-simplex heptadekerakt, 17-ortoplex
d=18 18-simplex oktadekerakt, 18-ortoplex
d=19 19-simplex ennedekerakt, 19-ortoplex
d=20 20-simplex ikosarakt, 20-ortoplex

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]

  • Slovníkové heslo jehlan ve Wikislovníku