Křivkový integrál

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

V matematice je křivkový integrál integrál skalárního nebo vektorového pole počítaný podél křivky. Je mnoho druhů křivkových integrálů, mezi nejdůležitější patří integrály prvního a druhého druhu a integrály v komplexní proměnné.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Mějme orientovanou křivku k, která je definována rovnicemi x=\phi(t), y=\psi(t) pro t \in \langle\alpha,\beta\rangle. Na této křivce k nechť je definována funkce z=f(x,y).

Křivku k rozdělíme na n oblouků o_1, o_2, ..., o_n v bodech A_1, A_2, ..., A_{n-1} s parametry t_1<t_2<...<t_{n-1}. Na každém oblouku o_i zvolíme bod C_i o souřadnicích [\xi_i,\eta_i] a sestrojíme součty

S_x = \sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i)(x_i-x_{i-1}) = \sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i)[\phi(t_i)-\phi(t_{i-1})]
S_y = \sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i)(y_i-y_{i-1}) = \sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i)[\psi(t_i)-\psi(t_{i-1})]
S_s = \sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i)(s_i-s_{i-1})

kde l_i = s_i-s_{i-1} = \int_{t_{i-1}}^{t_i} \sqrt{{\phi^\prime}^2(t)+{\psi^\prime}^2(t)}\mathrm{d}t je délka oblouku o_i.


Největší z délek l_k při daném dělení d nazveme normou dělení d, tzn. \nu(d) = \max_d l_k.


Pokud existuje takové číslo I_x, resp. I_y, resp. I_s, že k libovolnému \varepsilon>0 lze najít takové \delta>0, že \left|I_x-S_x\right|<\varepsilon, resp. \left|I_y-S_y\right|<\varepsilon, resp. \left|I_s-S_s\right|<\varepsilon pro každé dělení d, pro které \nu(d)<\delta bez ohledu na volbu bodů C_k na o_k, pak říkáme, že existuje křivkový integrál funkce f(x,y) po křivce k vzhledem k x, resp. k y, resp. k s, což zapisujeme vztahy

I_x = \int_k f(x,y)\mathrm{d}x = \int_k f(\phi(t),\psi(t))\phi^\prime(t)\mathrm{d}t
I_y = \int_k f(x,y)\mathrm{d}y = \int_k f(\phi(t),\psi(t))\psi^\prime(t)\mathrm{d}t
I_s = \int_k f(x,y)\mathrm{d}s = \int_k f(\phi(t),\psi(t))\sqrt{{\phi^\prime}^2(t)+{\psi^\prime}^2(t)}\mathrm{d}t

Integrál I_s označujeme jako křivkový integrál prvního druhu, integrály I_x, I_y jako křivkové integrály druhého druhu.


Je-li funkce f(x,y) spojitá na křivce k, pak uvedené integrály existují.


Za integrál druhého druhu považujeme také integrál

\int_k \left[f(x,y)\mathrm{d}x+g(x,y)\mathrm{d}y\right] = \int_k f(x,y)\mathrm{d}x + \int_k g(x,y)\mathrm{d}y


Je-li křivka k uzavřená, pak k označení křivkového integrálu po této křivce užíváme integrační znak \oint.

Demonstrace významu křivkových integrálů.

Význam křivkových integrálů je demonstrován na obrázku. Obsah plochy, která je nad křivkou k ohraničena funkcí z=f(x,y), je určen křivkovým integrálem prvního druhu, tedy integrálem I_s. Obsah (orientovaného) průmětu této plochy do roviny xz, resp. yz, je určen integrálem I_x, resp. I_y.


Zobecnění křivkových integrálů na prostorové křivky je přímočaré. Je-li na oblasti \Omega definována spojitá funkce f(x,y,z) a křivka k zadaná parametricky vztahy x = \phi(t), y = \psi(t), z = \chi(t) pro t \in \langle\alpha,\beta\rangle, pak křivkový integrál prvého druhu zapíšeme

\int_k f(x,y,z)\mathrm{d}s = \int_\alpha^\beta f(\phi(t),\psi(t),\chi(t))\sqrt{{\phi^\prime}^2(t)+{\psi^\prime}^2(t)+{\chi^\prime}^2(t)}\mathrm{d}t

Křivkové integrály druhého druhu pak mají tvar

\int_k f(x,y,z)\mathrm{d}x = \int_\alpha^\beta f(\phi(t),\psi(t),\chi(t))\phi^\prime(t)\mathrm{d}t
\int_k f(x,y,z)\mathrm{d}y = \int_\alpha^\beta f(\phi(t),\psi(t),\chi(t))\psi^\prime(t)\mathrm{d}t
\int_k f(x,y,z)\mathrm{d}z = \int_\alpha^\beta f(\phi(t),\psi(t),\chi(t))\chi^\prime(t)\mathrm{d}t


Vlastnosti křivkových integrálů[editovat | editovat zdroj]

Je-li k orientovaná křivka, kterou lze rozložit na dvě souhlasně orientované křivky k_1, k_2, pak pro křivkové integrály druhého druhu platí

\int_k f(x,y)\mathrm{d}x = \int_{k_1} f(x,y)\mathrm{d}x + \int_{k_2} f(x,y)\mathrm{d}x
\int_k f(x,y)\mathrm{d}y = \int_{k_1} f(x,y)\mathrm{d}y + \int_{k_2} f(x,y)\mathrm{d}y

a podobně pro křivkové integrály prvního druhu

\int_k f(x,y)\mathrm{d}s = \int_{k_1} f(x,y)\mathrm{d}s + \int_{k_2} f(x,y)\mathrm{d}s

Jsou-li na křivce k definovány funkce f_1(x,y), f_2(x,y), pak pro libovolné konstanty c_1, c_2

\int_k \left[c_1 f_1(x,y)+c_2 f_2(x,y)\right]\mathrm{d}x = c_1 \int_k f_1(x,y)\mathrm{d}x + c_2 \int_k f_2(x,y)\mathrm{d}x
\int_k \left[c_1 f_1(x,y)+c_2 f_2(x,y)\right]\mathrm{d}y = c_1 \int_k f_1(x,y)\mathrm{d}y + c_2 \int_k f_2(x,y)\mathrm{d}y
\int_k \left[c_1 f_1(x,y)+c_2 f_2(x,y)\right]\mathrm{d}s = c_1 \int_k f_1(x,y)\mathrm{d}s + c_2 \int_k f_2(x,y)\mathrm{d}s


Označme jako k^\prime křivku, která má opačnou orientaci než křivka k. Při změně orientace křivky změní integrály druhého druhu své znaménko, tzn.

\int_{k^\prime} f(x,y)\mathrm{d}x = - \int_k f(x,y)\mathrm{d}x
\int_{k^\prime} f(x,y)\mathrm{d}y = - \int_k f(x,y)\mathrm{d}y

Integrály prvního druhu při změně orientace znaménko nemění, tzn.

\int_{k^\prime} f(x,y)\mathrm{d}s = \int_k f(x,y)\mathrm{d}s

Komplexní analýza[editovat | editovat zdroj]

V komplexní analýze se operuje s křivkovými integrály. Křivkový integrál z holomorfní funkce f(z) po C1 křivce γ(t) , kde t je její parametr probíhající interval <a,b>

\int_{\gamma}f(z)\,\mathrm{d}z=
\int\limits_{a}^{b}f(z(t))\frac{\mathrm{d}z(t)}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t\,

kde integrujeme zvlášť reálnou a imaginární část. Jde-li o uzavřenou křivku, potom se používá značení

\oint_{\gamma}f(z)\,\mathrm{d}z.

Komplexní křivkové integrály lze zpravidla snadno počítat pomocí Cauchyovy věty, reziduové věty, nebo pomocí Cauchyova vzorce. Pokud integrační křivka splývá na některém svém úseku s reálnou osou, lze v určitých případech pomocí komplexních integrálů počítat integrály reálné.

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Mějme funkci f(z)=1/z a křivku C definovanou jako jednotkovou kladně orientovanou kružnici kolem bodu 0, která je parametrizována jako eit, kde parametr t probíhá <0, 2π>. Substitucí

\oint_C f(z)\,\mathrm{d}z = \int\limits_0^{2\pi} {1\over e^{it}} ie^{it}\,\mathrm{d}t = i\int\limits_0^{2\pi} e^{-it}e^{it}\,\mathrm{d}t
=i\int\limits_0^{2\pi}\,\mathrm{d}t = i(2\pi-0)=2\pi i

což lze rovněž ověřit Cauchyovým vzorcem.

Vektorový počet[editovat | editovat zdroj]

Ve vektorovém počtu hrají důležitou roli především integrály prvního druhu (tedy integrály ze skalárního pole podél křivky) a integrály druhého druhu (integrály z vektorového pole podél křivky).

Integrál prvního druhu[editovat | editovat zdroj]

Nechť f je skalární pole RnR spojité po částech C1 podél křivky γ parametrizované zobrazením r(t) <a,b>→Rn, pro které je r'(t) nenulové pro každé t. Potom křivkový integrál prvního druhu

\int_{\gamma}f\ \mathrm{d}s = \int\limits_{a}^{b}f(\mathbf{r}(t)) \left|\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}(t)}{\mathrm{d}t}\right| \mathrm{d}t.

Výsledná hodnota integrálu nezávisí na parametrizaci (integrujeme podle elementu délky křivky), jen na křivce, podél které integrujeme. Integrál skalárního pole po křivce vzniklé napojením dvou křivek v jednom bodě je součtem jednotlivých integrálů podél napojených křivek. Hodnota integrálu nezávisí na směru integrace.

Integrál druhého druhu[editovat | editovat zdroj]

Nechť A je vektorové pole RnRn spojité po částech C1 podél křivky γ parametrizované zobrazením r(t) <a,b>→Rn, pro které je r'(t) nenulové pro každé t. Potom křivkový integrál druhého druhu

\int_{\gamma}\mathbf{A}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} = \int\limits_{a}^{b}\mathbf{A}(\mathbf{r}(t)) \cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}(t)}{\mathrm{d}t} \mathrm{d}t.

Výsledná hodnota integrálu nezávisí na parametrizaci (integrujeme podle elementu délky křivky), jen na křivce, podél které integrujeme. Integrál vektorového pole po křivce vzniklé napojením dvou stejně orientovaných křivek v jednom bodě je součtem jednotlivých integrálů podél napojených křivek. Hodnota integrálu při změně směru integrace mění znaménko.

Užití[editovat | editovat zdroj]

Křivkové integrály mají široké využití ve fyzice, jako příklad můžeme uvést výpočet vykonané práce podél křivky – ta je rovna křivkovému integrálu (druhého druhu) vektoru síly pole dráhy.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]