Křivkový integrál

V matematice je křivkový integrál integrál skalárního nebo vektorového pole počítaný podél křivky. Je mnoho druhů křivkových integrálů, mezi nejdůležitější patří integrály prvního a druhého druhu a integrály v komplexní proměnné.

Definice

Mějme orientovanou křivku $k$, která je definována rovnicemi $x=\phi(t), y=\psi(t)$ pro $t \in \langle\alpha,\beta\rangle$. Na této křivce k nechť je definována funkce $z=f(x,y)$.

Křivku k rozdělíme na $n$ oblouků $o_1, o_2, ..., o_n$ v bodech $A_1, A_2, ..., A_{n-1}$ s parametry $t_1<t_2<...<t_{n-1}$. Na každém oblouku $o_i$ zvolíme bod $C_i$ o souřadnicích $[\xi_i,\eta_i]$ a sestrojíme součty

$S_x = \sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i)(x_i-x_{i-1}) = \sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i)[\phi(t_i)-\phi(t_{i-1})]$

$S_y = \sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i)(y_i-y_{i-1}) = \sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i)[\psi(t_i)-\psi(t_{i-1})]$

$S_s = \sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i)(s_i-s_{i-1})$

kde $l_i = s_i-s_{i-1} = \int_{t_{i-1}}^{t_i} \sqrt{{\phi^\prime}^2(t)+{\psi^\prime}^2(t)}\mathrm{d}t$ je délka oblouku $o_i$.

Největší z délek $l_k$ při daném dělení $d$ nazveme normou dělení $d$, tzn. $\nu(d) = \max_d l_k$.

Pokud existuje takové číslo $I_x$, resp. $I_y$, resp. $I_s$, že k libovolnému $\varepsilon>0$ lze najít takové $\delta>0$, že $\left|I_x-S_x\right|<\varepsilon$, resp. $\left|I_y-S_y\right|<\varepsilon$, resp. $\left|I_s-S_s\right|<\varepsilon$ pro každé dělení $d$, pro které $\nu(d)<\delta$ bez ohledu na volbu bodů $C_k$ na $o_k$, pak říkáme, že existuje křivkový integrál funkce $f(x,y)$ po křivce k vzhledem k x, resp. k y, resp. k s, což zapisujeme vztahy

$I_x = \int_k f(x,y)\mathrm{d}x = \int_k f(\phi(t),\psi(t))\phi^\prime(t)\mathrm{d}t$

$I_y = \int_k f(x,y)\mathrm{d}y = \int_k f(\phi(t),\psi(t))\psi^\prime(t)\mathrm{d}t$

$I_s = \int_k f(x,y)\mathrm{d}s = \int_k f(\phi(t),\psi(t))\sqrt{{\phi^\prime}^2(t)+{\psi^\prime}^2(t)}\mathrm{d}t$

Integrál $I_s$ označujeme jako křivkový integrál prvního druhu, integrály $I_x, I_y$ jako křivkové integrály druhého druhu.

Je-li funkce $f(x,y)$ spojitá na křivce k, pak uvedené integrály existují.

Za integrál druhého druhu považujeme také integrál

$\int_k \left[f(x,y)\mathrm{d}x+g(x,y)\mathrm{d}y\right] = \int_k f(x,y)\mathrm{d}x + \int_k g(x,y)\mathrm{d}y$

Je-li křivka k uzavřená, pak k označení křivkového integrálu po této křivce užíváme integrační znak $\oint$.

Demonstrace významu křivkových integrálů.

Význam křivkových integrálů je demonstrován na obrázku. Obsah plochy, která je nad křivkou k ohraničena funkcí $z=f(x,y)$, je určen křivkovým integrálem prvního druhu, tedy integrálem $I_s$. Obsah (orientovaného) průmětu této plochy do roviny $xz$, resp. $yz$, je určen integrálem $I_x$, resp. $I_y$.

Zobecnění křivkových integrálů na prostorové křivky je přímočaré. Je-li na oblasti $\Omega$ definována spojitá funkce $f(x,y,z)$ a křivka k zadaná parametricky vztahy $x = \phi(t), y = \psi(t), z = \chi(t)$ pro $t \in \langle\alpha,\beta\rangle$, pak křivkový integrál prvého druhu zapíšeme

$\int_k f(x,y,z)\mathrm{d}s = \int_\alpha^\beta f(\phi(t),\psi(t),\chi(t))\sqrt{{\phi^\prime}^2(t)+{\psi^\prime}^2(t)+{\chi^\prime}^2(t)}\mathrm{d}t$

Křivkové integrály druhého druhu pak mají tvar

$\int_k f(x,y,z)\mathrm{d}x = \int_\alpha^\beta f(\phi(t),\psi(t),\chi(t))\phi^\prime(t)\mathrm{d}t$

$\int_k f(x,y,z)\mathrm{d}y = \int_\alpha^\beta f(\phi(t),\psi(t),\chi(t))\psi^\prime(t)\mathrm{d}t$

$\int_k f(x,y,z)\mathrm{d}z = \int_\alpha^\beta f(\phi(t),\psi(t),\chi(t))\chi^\prime(t)\mathrm{d}t$

Vlastnosti křivkových integrálů

Je-li k orientovaná křivka, kterou lze rozložit na dvě souhlasně orientované křivky $k_1, k_2$, pak pro křivkové integrály druhého druhu platí

$\int_k f(x,y)\mathrm{d}x = \int_{k_1} f(x,y)\mathrm{d}x + \int_{k_2} f(x,y)\mathrm{d}x$

$\int_k f(x,y)\mathrm{d}y = \int_{k_1} f(x,y)\mathrm{d}y + \int_{k_2} f(x,y)\mathrm{d}y$

a podobně pro křivkové integrály prvního druhu

$\int_k f(x,y)\mathrm{d}s = \int_{k_1} f(x,y)\mathrm{d}s + \int_{k_2} f(x,y)\mathrm{d}s$

Jsou-li na křivce k definovány funkce $f_1(x,y), f_2(x,y)$, pak pro libovolné konstanty $c_1, c_2$

$\int_k \left[c_1 f_1(x,y)+c_2 f_2(x,y)\right]\mathrm{d}x = c_1 \int_k f_1(x,y)\mathrm{d}x + c_2 \int_k f_2(x,y)\mathrm{d}x$

$\int_k \left[c_1 f_1(x,y)+c_2 f_2(x,y)\right]\mathrm{d}y = c_1 \int_k f_1(x,y)\mathrm{d}y + c_2 \int_k f_2(x,y)\mathrm{d}y$

$\int_k \left[c_1 f_1(x,y)+c_2 f_2(x,y)\right]\mathrm{d}s = c_1 \int_k f_1(x,y)\mathrm{d}s + c_2 \int_k f_2(x,y)\mathrm{d}s$

Označme jako $k^\prime$ křivku, která má opačnou orientaci než křivka $k$. Při změně orientace křivky změní integrály druhého druhu své znaménko, tzn.

$\int_{k^\prime} f(x,y)\mathrm{d}x = - \int_k f(x,y)\mathrm{d}x$

$\int_{k^\prime} f(x,y)\mathrm{d}y = - \int_k f(x,y)\mathrm{d}y$

Integrály prvního druhu při změně orientace znaménko nemění, tzn.

$\int_{k^\prime} f(x,y)\mathrm{d}s = \int_k f(x,y)\mathrm{d}s$

Komplexní analýza

V komplexní analýze se operuje s křivkovými integrály. Křivkový integrál z holomorfní funkce f(z) po C¹ křivce γ(t) , kde t je její parametr probíhající interval <a,b>

$\int_{\gamma}f(z)\,\mathrm{d}z= \int\limits_{a}^{b}f(z(t))\frac{\mathrm{d}z(t)}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t\,$

kde integrujeme zvlášť reálnou a imaginární část. Jde-li o uzavřenou křivku, potom se používá značení

$\oint_{\gamma}f(z)\,\mathrm{d}z.$

Komplexní křivkové integrály lze zpravidla snadno počítat pomocí Cauchyovy věty, reziduové věty, nebo pomocí Cauchyova vzorce. Pokud integrační křivka splývá na některém svém úseku s reálnou osou, lze v určitých případech pomocí komplexních integrálů počítat integrály reálné.

Příklad

Mějme funkci f(z)=1/z a křivku C definovanou jako jednotkovou kladně orientovanou kružnici kolem bodu 0, která je parametrizována jako e^it, kde parametr t probíhá <0, 2π>. Substitucí

$\oint_C f(z)\,\mathrm{d}z = \int\limits_0^{2\pi} {1\over e^{it}} ie^{it}\,\mathrm{d}t = i\int\limits_0^{2\pi} e^{-it}e^{it}\,\mathrm{d}t$

$=i\int\limits_0^{2\pi}\,\mathrm{d}t = i(2\pi-0)=2\pi i$

což lze rovněž ověřit Cauchyovým vzorcem.

Vektorový počet

Ve vektorovém počtu hrají důležitou roli především integrály prvního druhu (tedy integrály ze skalárního pole podél křivky) a integrály druhého druhu (integrály z vektorového pole podél křivky).

Integrál prvního druhu

Nechť f je skalární pole Rⁿ→R spojité po částech C¹ podél křivky γ parametrizované zobrazením r(t) <a,b>→Rⁿ, pro které je r'(t) nenulové pro každé t. Potom křivkový integrál prvního druhu

$\int_{\gamma}f\ \mathrm{d}s = \int\limits_{a}^{b}f(\mathbf{r}(t)) \left|\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}(t)}{\mathrm{d}t}\right| \mathrm{d}t.$

Výsledná hodnota integrálu nezávisí na parametrizaci (integrujeme podle elementu délky křivky), jen na křivce, podél které integrujeme. Integrál skalárního pole po křivce vzniklé napojením dvou křivek v jednom bodě je součtem jednotlivých integrálů podél napojených křivek. Hodnota integrálu nezávisí na směru integrace.

Integrál druhého druhu

Nechť A je vektorové pole Rⁿ→Rⁿ spojité po částech C¹ podél křivky γ parametrizované zobrazením r(t) <a,b>→Rⁿ, pro které je r'(t) nenulové pro každé t. Potom křivkový integrál druhého druhu

$\int_{\gamma}\mathbf{A}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} = \int\limits_{a}^{b}\mathbf{A}(\mathbf{r}(t)) \cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}(t)}{\mathrm{d}t} \mathrm{d}t.$

Výsledná hodnota integrálu nezávisí na parametrizaci (integrujeme podle elementu délky křivky), jen na křivce, podél které integrujeme. Integrál vektorového pole po křivce vzniklé napojením dvou stejně orientovaných křivek v jednom bodě je součtem jednotlivých integrálů podél napojených křivek. Hodnota integrálu při změně směru integrace mění znaménko.

Užití

Křivkové integrály mají široké využití ve fyzice, jako příklad můžeme uvést výpočet vykonané práce podél křivky – ta je rovna křivkovému integrálu (druhého druhu) vektoru síly pole dráhy.

Související články

• Křivka
• Integrál
• Aplikace integrálu
• Greenova věta