Totální diferenciál

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Pokud má funkce $f (x 1, x 2,..., x n)$ v okolí bodu $A = [a 1, a 2,..., a n]$ parciální derivace, které jsou spojité, pak totálním (úplným) diferenciálem funkce $f (x 1, x 2,..., x n)$ v bodě $A$ označujeme výraz

$\mathrm{d}f(a_1,a_2,...,a_n) = f_{x_1}(a_1,a_2,...,a_n)h_1 + f_{x_2}(a_1,a_2,...,a_n)h_2 + ... + f_{x_n}(a_1,a_2,...,a_n)h_n,$

kde $h i = x i - a i$ pro $i = 1,2,..., n$ a $f_{x_i}$ označuje parciální derivaci funkce $f$ podle proměnné $x i$ . Místo $h i$ se obvykle používá diferenciál $d x i$ , tzn.

$\mathrm{d}f = \frac{\part f}{\part x_1}\mathrm{d}x_1 + \frac{\part f}{\part x_2}\mathrm{d}x_2 + ... + \frac{\part f}{\part x_n}\mathrm{d}x_n.$

Totální diferenciál funkce v bodě $A = [a 1, a 2,..., a n]$ představuje rozdíl mezi hodnotou funkce a její tečnou rovinou v bodě $A$ , pokud přejdeme do bodu $A = [a 1 + h 1, a 2 + h 2,..., a n + h n]$ .

Geometrický význam totálního diferenciálu.

Geometrický význam totálního diferenciálu lze demonstrovat na funkci dvou proměnných (viz obrázek vpravo).

O funkci, která má v daném bodě diferenciál říkáme, že je v tomto bodě diferencovatelná.

Je-li tedy funkce $f (x, y)$ v bodě $[x 0, y 0]$ diferencovatelná, pak lze k ploše $z = f (x, y)$ vést tečnou rovinu procházející bodem $[x 0, y 0, z 0]$ , která má rovnici

$z-z_0 = \frac{\part f(x_0,y_0)}{\part x}(x-x_0) + \frac{\part f(x_0,y_0)}{\part y}(y-y_0).$

[editovat] Diferenciály vyšších řádů

Diferenciál prvního diferenciálu v bodě $A$ označujeme jako druhý diferenciál.

$\mathrm{d}^2 f(a_1,a_2,\dots,a_n) = \mathrm{d}\left[\frac{\part f(a_1,a_2,\dots,a_n)}{\part x_1}h_1 + \frac{\part f(a_1,a_2,\dots,a_n)}{\part x_2}h_2 + \dots + \frac{\part f(a_1,a_2,\dots,a_n)}{\part x_n}h_n\right] =$

$= h_1 \mathrm{d}\left(\frac{\part f}{\part x_1}\right) + h_2 \mathrm{d}\left(\frac{\part f}{\part x_2}\right) + \dots + h_n \mathrm{d}\left(\frac{\part f}{\part x_n}\right) =$

$= h_1\left[h_1 \frac{\part^2 f}{\part x_1^2} + h_2 \frac{\part^2 f}{\part x_1 \part x_2} + \dots + h_n \frac{\part^2 f}{\part x_1 \part x_n}\right] + h_2 \left[h_1 \frac{\part^2 f}{\part x_2 \part x_1} + h_2 \frac{\part^2 f}{\part x_2^2} + \dots + h_n \frac{\part^2 f}{\part x_2 \part x_n}\right] + \dots + h_n \left[h_1 \frac{\part^2 f}{\part x_n \part x_1} + h_2 \frac{\part^2 f}{\part x_n \part x_2} + \dots +h_n \frac{\part^2 f}{\part x_n^2}\right]$

Podobně lze získat i diferenciály vyšších řádů. Diferenciál $m$ -tého řádu ( $m$ -tý diferenciál) lze vyjádřit výrazem

$\mathrm{d}^m f = {\left(h_1 \frac{\part}{\part x_1} + h_2 \frac{\part}{\part x_2} + \dots + h_n \frac{\part}{\part x_n}\right)}^m f.$

Pro funkci dvou proměnných $x$ , $y$ má $m$ -tý diferenciál tvar

$\mathrm{d}^m f = {\left(h \frac{\part}{\part x} + k \frac{\part}{\part y}\right)}^m f = h^m \frac{\part^m f}{\part x^m} + {m \choose 1}h^{m-1}k \frac{\part^m f}{\part x^{m-1} \part y} + \dots + {m \choose m-1}h k^{m-1} \frac{\part^m f}{\part x \part y^{m-1}} + k^m \frac{\part^m f}{\part y^m}.$