Spojité zobrazení

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Spojité zobrazení je druh zobrazení mezi topologickými prostory, které nevytváří trhliny ani ostré skoky. Je zobecněním pojmu spojitá funkce na množinách čísel.

Obsah

1 Definice
2 Spojitá zobrazení na množinách čísel
3 Vlastnosti spojitých zobrazení
4 Související články

[editovat] Definice

Zobrazení $f$ mezi topologickými prostory $X$ a $Y$ nazveme spojité, pokud vzor každé otevřené množiny v $Y$ je otevřená množina v $X$ .

Ekvivalentní definice říká, že zobrazení $f$ je spojité v bodě $x \in X$ , jestliže pro každé okolí $V$ bodu $f (x)$ existuje okolí $U$ bodu $x$ takové, že $f(U) \subseteq V$ . Zobrazení $f$ je spojité, pokud je $f$ spojité v každém $x \in X$ .

[editovat] Spojitá zobrazení na množinách čísel

Zobrazením mezi množinami čísel se častěji říká funkce. Topologie na množině reálných a komplexních čísel je generována otevřenými intervaly. Proto i definice spojitosti je pro tyto zobrazení ekvivalentní běžné definici spojité funkce pomocí $ε$ a $δ$ . Obecněji na metrických a normovaných lineárních prostorech je topologická definice spojitosti ekvivalentní definicím spojitých funkcí pomocí metriky nebo normy.

[editovat] Vlastnosti spojitých zobrazení

Složení spojitých zobrazení je opět spojité zobrazení.

Spojité zobrazení zachovává kompaktní množiny. Proto i složení $f \circ g:X \rightarrow Z$ spojitého zobrazení $f: Y \rightarrow Z$ s kompaktním zobrazením $g:X \rightarrow Y$ je zobrazení kompaktní.