Souvislá množina

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Souvislá (A) a nesouvislá (B) množina

Souvislá množina je matematický pojem z oblasti topologie.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Souvislá množina[editovat | editovat zdroj]

Množina \mathbf{X} \subset \mathbf{M}, \mathbf{X} \ne \emptyset topologického či metrického prostoru (\mathbf{M},\rho) se nazývá souvislá, pokud kdykoli \mathbf{A} \subset \mathbf{M}, \mathbf{B} \subset \mathbf{M} jsou množiny otevřené v M takové, že

  • \mathbf{X} = \mathbf{A} \cup \mathbf{B} a
  • \mathbf{A} \cap \mathbf{B} = \emptyset.

Pak buď \mathbf{A} = \emptyset nebo \mathbf{B} = \emptyset

Ekvivalentní definice[editovat | editovat zdroj]

Pak buď \mathbf{A} = \emptyset nebo \mathbf{B} = \emptyset

  • Je-li \mathbf{f}: \mathbf{X} \rightarrow [0,1] spojité zobrazení a \{0,1\} \subset \mathbf{f}[\mathbf{X}], pak \mathbf{f}[\mathbf{X}] = [0,1].

Souvislý prostor[editovat | editovat zdroj]

Topologický prostor je souvislý, je-li svou vlastní souvislou podmnožinou.

Topologický prostor X je souvislý právě tehdy, když jediné podmnožiny v X, které jsou současně otevřené i uzavřené, jsou X a \emptyset. V opačném případě bývá prostor X označován jako nesouvislý.

Komponenta souvislosti[editovat | editovat zdroj]

Komponenta souvislosti množiny \mathbf{X} \subset \mathbf{M} je každá její maximální (vzhledem k \subseteq) souvislá podmnožina.

Související články[editovat | editovat zdroj]