Souvislá množina

Tento článek potřebuje úpravy.

Můžete Wikipedii pomoci tím, že ho vylepšíte. Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl, Encyklopedický styl a Odkazy.

Souvislá (A) a nesouvislá (B) množina

Souvislá množina je matematický pojem z oblasti topologie.

Definice

Souvislá množina

Množina $\mathbf{X} \subset \mathbf{M}$, $\mathbf{X} \ne \emptyset$ topologického či metrického prostoru $(\mathbf{M},\rho)$ se nazývá souvislá, pokud kdykoli $\mathbf{A} \subset \mathbf{M}$, $\mathbf{B} \subset \mathbf{M}$ jsou otevřené množiny takové, že

• $\mathbf{X} = \mathbf{A} \cup \mathbf{B}$ a
• $\mathbf{A} \cap \mathbf{B} = \emptyset$.

Pak buď $\mathbf{A} = \emptyset$ nebo $\mathbf{B} = \emptyset$

Ekvivalentní definice

• Množina $\mathbf{X} \subset \mathbf{M}$, $\mathbf{X} \ne \emptyset$ topologického či metrického prostoru $(\mathbf{M},\rho)$ se nazývá souvislá, pokud kdykoli $\mathbf{A} \subset \mathbf{M}$, $\mathbf{B} \subset \mathbf{M}$ jsou uzavřené množiny takové, že
  • $\mathbf{X} = \mathbf{A} \cup \mathbf{B}$ a
  • $\mathbf{A} \cap \mathbf{B} = \emptyset$.

Pak buď $\mathbf{A} = \emptyset$ nebo $\mathbf{B} = \emptyset$

• Je-li $\mathbf{f}: \mathbf{X} \rightarrow [0,1]$ spojité zobrazení a $\{0,1\} \subset \mathbf{f}[\mathbf{X}]$, pak $\mathbf{f}[\mathbf{X}] = [0,1]$.

Souvislý prostor

Topologický prostor je souvislý, je-li svou vlastní souvislou podmnožinou.

Topologický prostor $X$ je souvislý právě tehdy, když jediné podmnožiny v $X$, které jsou současně otevřené i uzavřené, jsou $X$ a $\emptyset$. V opačném případě bývá prostor $X$ označován jako nesouvislý.

Komponenta souvislosti

Komponenta souvislosti množiny $\mathbf{X} \subset \mathbf{M}$ je každá její maximální (vzhledem k $\subseteq$) souvislá podmnožina.

Související články

• Topologie
• Obloukově souvislá množina