Obloukově souvislá množina

Obloukově souvislý topologický prostor je pojem z matematiky, konkrétněji z topologie. Je to vlastnost prostoru, v kterém se libovolné dva body dají spojit křivkou.

Definice

Topologický prostor je obloukově souvislý, pokud každé dva jeho body $A,B\in X$ existuje spojitá křivka

$s: [0,1]\to X,\quad s(0)=A, \, s(1)=B.$

Podmnožina $Y$ topologického prostoru $X$ se nazývá obloukově souvislá, pokud $Y$ je souvislý jako topologický prostor vzhledem k indukované topologii.

Příklady

1. Euklideovy prostory $\mathbb{R}^n$, $n \in \mathbb{N}_0$, uvažované s metrickou topologií jsou obloukově souvislé
2. Hilbertův prostor a obecněji, topologický vektorový prostor jsou obloukově souvislé.
3. $\mathbb{R}^2$ bez osy $x$ není souvislý prostor. Obecná lineární grupa, ani grupa všech Lorentzových transformací nejsou obloukově souvislé. (Nejsou ani souvislé.)

Tvrzení

Pokud topologický prostor $X$ je obloukově souvislý, je souvislý.

Obrácená věta však neplatí. Protipříkladem je množina $\scriptstyle \left\{(0,y)\ \big|\ |y| \leq 1\right\} \cup \left\{\left(x,\sin\frac 1x\right)\ \big|\ x>0\right\}$. Tato množina je souvislá, ale není obloukově souvislá.