Hilbertův prostor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Hilbertovým prostorem je v matematice a fyzice označován vektorový prostor, v kterém je možné měřit úhly a velikosti vektorů a ortogonálně projektovat vektory na podprostory.

Úvod a motivace zavedení[editovat | editovat zdroj]

V Eukleidovských prostorech známých z geometrie je možné měřit úhly a vzdálenosti. V algebře se tím rozumí, že Eukleidovský prostor dimenze n můžeme reprezentovat jako vektorový prostor s danou dimenzí a skalárním součinem. Matematici se zabývali otázkou, zda je možné smysluplně definovat velikost úhlu, resp. vzdálenost i mezi prvky vektorových prostorů nekonečné dimenze, jako například různé prostory posloupností nebo funkcí, které již nemají přirozenou geometrickou interpretaci. Snahy o takové definice vykrystalizovaly v zavedení pojmu Hilbertova prostoru, který zobecňuje pojem Eukleidovského prostoru i na nekonečnou dimenzi. Dnes jsou Hilbertovy prostory jedním ze základním objektů studia v oboru funkcionální analýzy. Jsou pojmenovány na počest matematika Davida Hilberta, který byl jedním z průkopníků jejich teorie.

Exaktní definice[editovat | editovat zdroj]

Hilbertovým prostorem se rozumí unitární Banachův prostor, jinak řečeno: úplný vektorový prostor se skalárním součinem.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

  • Libovolný vektorový prostor se skalárním součinem konečné dimenze.
  • \ell^2: Prostor posloupností (x_i)_{i=1}^\infty komplexních čísel splňujících \sum_{i=1}^\infty | x_i | ^2 < \infty se skalárním součinem: \lang x,y \rang = \sum_{i=1}^\infty x_i \overline{y_i}.
  • L^2(a,b): Prostor Lebesgueovsky měřitelných funkcí funkcí z (a,b) \rightarrow \mathbb{C} splňujících \int_a^b |f(x)|^2 \, \mathrm{d} x < \infty se skalárním součinem: \lang f,g \rang = \int_a^b f(x)\overline{g(x)} \, \mathrm{d} x.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Ortonormální báze[editovat | editovat zdroj]

Prvních 5 prvků ortonormální báze prostoru L²(-1,1) složené z Legendreových polynomů.
Prvních 5 prvků trigonometrické ortonormální báze prostoru L²(-π,π).

S pojmem Hilbertova prostoru úzce souvisí pojem ortonormální báze. Ortonormální bází Hilbertova prostoru \mathcal{H} rozumíme takovou množinu A, která splňuje:

  1. \lang x, y \rang = 0 \ \forall x,y \in A, x \ne y. To znamená, že všechny prvky báze jsou navzájem kolmé (ortogonální).
  2. \| x \| = 1 \ \forall x \in A. Tedy, prvky báze mají jednotkovou velikost (jsou normální).
  3. Lineární obal báze je hustý podprostor \mathcal{H}. Zjednodušeně řečeno, každý prvek \mathcal{H} můžeme libovolně přesně aproximovat lineární kombinací nějakých prvků báze. Formálně tuto skutečnost zapíšeme jako \overline{\operatorname{Span} A} = \mathcal{H}, kde \operatorname{Span} značí lineární obal a pruh nahoře uzávěr.

Povšimněte si, že z 3. podmínky nutně nevyplývá, že by každý prvek musel být vyjádřitelný jako lineární kombinace prvků ortonormální báze. Pojem ortonormální báze tedy není totéž, co lineární báze. V prostoru konečné dimenze je každá ortonormální báze zároveň bází lineární, ale v nekonečné dimenzi nikoliv.

Hilbertovy prostory mají důležité následující vlastnosti:

  • Každý Hilbertův prostor má ortonormální bázi.
  • Každá ortonormální množina (tj. množina splňující pouze podmínky 1. a 2.) v Hilbertově prostoru je součástí nějaké ortonormální báze.
  • Každá ortonormální báze v separabilním Hilbertově prostoru je spočetná.

Dimenzí Hilbertova prostoru rozumíme mohutnost ortonormální báze. Libovolné dva Hilbertovy prostory se stejnou dimenzí jsou izomorfní, důležitým důsledkem je, že každý separabilní Hilbertův prostor je izomorfní s \ell^2.

Ortogonální rozklady[editovat | editovat zdroj]

Projekční věta[editovat | editovat zdroj]

Uzavřeným prostorem, nazveme takový podprostor, pro který platí \mathcal{M} = \overline{\mathcal{M}}. Kolmý podprostor \mathcal{M}^\bot definujeme takto: \mathcal{M}^\bot = \{ y \in \mathcal{H} : y \bot \mathcal{M}\}. Značením \mathcal{V} = \mathcal{V}_1 \oplus \mathcal{V}_2 rozumíme, že:

  • \mathcal{V}_1 \bot \mathcal{V}_2, tzn: \lang v_1, v_2 \rang = 0 \ \forall v_1 \in \mathcal{V}_1, v_2 \in \mathcal{V}_2
  • \mathcal{V} = \operatorname{Span} (\mathcal{V}_1 \cup \mathcal{V}_2)

Platí, že je-li \mathcal{M} uzavřený podprostor Hilbertova prostoru \mathcal{H}, pak \mathcal{H} = \mathcal{M} \oplus \mathcal{M}^\bot.

Hilbertův prostor je tedy možné rozložit na vzájemně kolmé podprostory.

Ortogonální projekce[editovat | editovat zdroj]

Pro libovolný podprostor \mathcal{M} \subset \mathcal{H} existuje lineární operátor P: \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{M}, který každému prvku x \in \mathcal{H} přiřadí jeho nejlepší aproximaci z \mathcal{M}, tzn: \| x - P x \| = \inf{\{ \| x - m \| : m \in \mathcal{M}\}}.

Má-li \mathcal{M} konečnou ortonormální bázi \{e_1, ..., e_n\}, pak lze projekci stanovit takto: P x = \sum_{i=1}^n \lang x, e_i \rang e_i.

V praxi má ortogonální projekce velké využití v kvantové mechanice a v aproximačních úlohách.

Využití[editovat | editovat zdroj]

Teorie Hilbertových prostorů se používá v kvantové mechanice, kde se stavy fyzikálního systému popisují pomocí prvků nějakého Hilbertova prostoru. Často se předpokládá, že daný Hilbertův prostor je navíc reprezentace nějaké grupy (obvykle grupy Lorentzových transformací). S termínem Hilbertův prostor se dále setkáte u jádrové transformace u metody support vector machines populární v strojovém učení.