Lebesgueova míra

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Lebesgueova míra, pojmenovaná po francouzském matematikovi Henri Lebesgueovi, je v teorii míry standardní způsob přiřazení míry podmnožinám n-rozměrného eukleidovského prostoru. Pro n = 1, 2 nebo 3 se shoduje se standardní mírou délky, plochy nebo objemu. Obecně se nazývá n-rozměrný objem, n-objem nebo jednoduše objem[1]. Lebesgueova míra se používá v analýze v reálném oboru především pro definici Lebesgueova integrálu. Množiny, kterým lze přiřadit Lebesgueovu míru, se nazývají Lebesgueovsky měřitelné; míra Lebesgueovsky měřitelné množiny A se označuje λ(A).

Henri Lebesgue popsal tuto míru v roce 1901 a následující rok vyšel jeho popis Lebesgueova integrálu. Obojí bylo publikováno jako část jeho disertace v roce 1902[2].

Lebesgueova míra se často značí dx; ale toto značení se nesmí zaměňovat s odlišným pojmem forma objemu.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Jestliže délku (otevřeného, uzavřeného nebo polouzavřeného) intervalu I = \langle a,b\rangle označíme l(I)=b - a, pak pro libovolnou podmnožinu E\subset\mathbb{R} definujeme její Lebesgueovu vnější míru \lambda^*(E) jako

\lambda^*(E) = \text{inf} \left\{\sum_{k=1}^\infty l(I_k) : {(I_k)_{k \in \mathbb N}} \text{ je posloupnost otevřených intervalů takových, že } E\subset \bigcup_{k=1}^\infty I_k\right\}.

Lebesgueova míra množiny E je daná její Lebesgueovou vnější mírou \lambda(E)=\lambda^*(E), jestliže pro každé A\subset\mathbb{R},

\lambda^*(A) = \lambda^*(A \cap E) + \lambda^*(A \cap E^c) .

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Translační invariance: Lebesgueova míry množiny A+t je stejná jako množiny A.

Lebesgueova míra na ℝn má následující vlastnosti:

  1. Jestliže A je kartézský součin intervalů I1 × I2 × ... × In, pak A je Lebesgueovsky měřitelná a \lambda (A)=|I_1|\cdot |I_2|\cdots |I_n|, kde |I| označuje délku intervalu I.
  2. Jestliže A je disjunktní sjednocení spočetně mnoha disjunktních Lebesgueovsky měřitelných množin, pak A je také Lebesgueovsky měřitelná a λ(A) se rovná sumě měr příslušných množin.
  3. Jestliže A je Lebesgueovsky měřitelná, pak je měřitelný i její doplněk.
  4. λ(A) ≥ 0 pro každou Lebesgueovsky měřitelnou množinu A.
  5. Jestliže A a B jsou Lebesgueovsky měřitelné a A je podmnožina B, pak λ(A) ≤ λ(B). (Důsledek bodů 2, 3 a 4.)
  6. Spočetná sjednocení a průniky Lebesgueovsky měřitelných množin jsou Lebesgueovsky měřitelné. (Toto není důsledek bodů 2 a 3, protože systém množin, který je uzavřený na doplňky a disjunktní spočetná sjednocení, nemusí být uzavřený na spočetná sjednocení: \{\emptyset, \{1,2,3,4\}, \{1,2\}, \{3,4\}, \{1,3\}, \{2,4\}\}.)
  7. Jestliže A je otevřený nebo uzavřený podmnožina ℝn (nebo dokonce borelovská množina, viz metrický prostor), pak A je Lebesgueovsky měřitelná.
  8. Jestliže A je Lebesgueovsky měřitelná množina, pak je "skoro otevřená" i "skoro uzavřená" ve smyslu Lebesgueovy míry (viz věta o regularitě pro Lebesgueovu míru).
  9. Lebesgueova míra, která je lokálně konečná a vnitřně regulární, je Radonova míra.
  10. Lebesgueova míra je striktně kladná na neprázdných otevřených množinách, takže její podpora je celé ℝn.
  11. Jestliže A je Lebesgueovsky měřitelná množina s λ(A) = 0 (množina míry nula), pak každá podmnožina A je také množina míry nula. V důsledku toho je každá podmnožina A také měřitelná.
  12. Jestliže A je Lebesgueovsky měřitelná a x je prvek ℝn, pak translace A by x, definovaný by A + x = {a + x : aA}, je také Lebesgueovsky měřitelná a má stejnou míru jako A.
  13. Jestliže A je Lebesgueovsky měřitelná a \delta>0, pak dilation A o \delta definovaná vztahem \delta A =\{\delta x:x\in A\} je také Lebesgueovsky měřitelná a má míru \delta^{n}\lambda\,(A).
  14. Obecněji, jestliže T je lineární transformace a A je měřitelná podmnožina ℝn, pak T(A) je také Lebesgueovsky měřitelná a má míru |\det(T)|\, \lambda\,(A).

Všechny výše uvedené body lze stručně shrnout takto:

Lebesgueovsky měřitelné množiny vytvářejí σ-algebru obsahující všechny součiny intervalů a λ je jednoznačná úplná translačně invariantní míra, na této σ-algebře taková, že \lambda(\langle 0; 1\rangle\times \langle 0; 1\rangle\times \cdots \times \langle 0; 1\rangle)=1.

Lebesgueova míra je také σ-konečná.

Množiny míry nula[editovat | editovat zdroj]

Libovolná podmnožina ℝn je množinou míry nula, jestliže pro každé ε > 0 může být pokryta spočetně mnoha součiny n intervalů, jejichž celkový objem je nejvýše ε. Všechny spočetné množiny jsou množinami míry nula.

Jestliže nějaká podmnožina ℝnHausdorffovu dimenzi menší než n, pak je to množina míry nula vzhledem k n-rozměrné Lebesgueově míře. Hausdorffova dimenze je relativní vůči Eukleidově metrice na ℝn (nebo libovolné metrice s ní Lipschitzovsky ekvivalentní). Na druhou stranu, množina, která má topologickou dimenzi menší než n, může mít kladnou n-rozměrnou Lebesgueovu míru. Příkladem je Smithova-Volterraova-Cantorova množina, která má topologickou dimenzi 0, ale má kladnou 1-rozměrnou Lebesgueovu míru.

Pro důkaz, že daná množina A je Lebesgueovsky měřitelná, se obvykle snažíme nalézt "hezčí" množinu B který se od A liší nejvýše o množinu míry nula (tj. symetrická diference (AB) \cup(BA) je množina míry nula) a pak ukázat, že B lze generovat z otevřených nebo uzavřených množin pomocí spočetných sjednocení a průniků.

Konstrukce Lebesgueovy míry[editovat | editovat zdroj]

Moderní konstrukce Lebesgueovy míry je aplikací Carathéodoryovy věta o rozšíření:

Nechť nN pevné. kostka v ℝn je množina tvaru

B=\prod_{i=1}^n \langle a_i,b_i\rangle \, ,

kde biai a symbol součinu zde znamená kartézský součin. Objem této kostky je definovaný vztahem

\operatorname{vol}(B)=\prod_{i=1}^n (b_i-a_i) \, .

Pro libovolnou podmnožinu A množiny ℝn, můžeme definovat její vnější míru λ*(A) takto:

\lambda^*(A) = \inf \Bigl\{\sum_{B\in \mathcal{C}}\operatorname{vol}(B) : \mathcal{C}\text{ je spočetná kolekce kostek, jejichž sjednocení pokrývá }A\Bigr\} .

Pak řekneme, že množina A je Lebesgueovsky měřitelná, jestliže pro každou podmnožinu S množiny ℝn,

\lambda^*(S) = \lambda^*(S \cap A) + \lambda^*(S - A) \, .

Tyto Lebesgueovsky měřitelné množiny vytváří σ-algebru a Lebesgueova míra je definována vztahem λ(A) = λ*(A) pro libovolnou Lebesgueovsky měřitelnou množinu A.

Existence množin, které nejsou Lebesgueovsky měřitelné, je důsledek axiomu výběru, který je nezávislý na mnoha obvyklých systémech axiomů teorie množin. Vitaliho věta, která vyplývá z axiomu výběru, tvrdí, že existují podmnožiny ℝ, které nejsou Lebesgueovsky měřitelné. S použitím axiomu výběru lze zkonstruovat různé neměřitelné množiny s mnoha překvapivými vlastnostmi, např. Banachův-Tarského paradox.

V roce 1970 ukázal Robert M. Solovay, že existence množin, které nejsou Lebesgueovsky měřitelné, není dokazatelná v rámci Zermelovy-Fraenkelovy teorie množin bez použití axiomu výběru (viz Solovayův model).[3]

Vztah k jiným mírám[editovat | editovat zdroj]

Borelovská míra souhlasí s Lebesgueova míra na těch množinách, pro které je definovaná; ale existuje mnohem více lebesgueovsky měřitelných množin než borelovsky měřitelných množin. Borelovská míra je translačně invariantní, ale není úplná.

Haarova míra může být definována na libovolné lokálně kompaktní grupě a je zobecněním Lebesgueovy míry (ℝn s přídavek je lokálně kompaktní grupa).

Hausdorffova míra je zobecněním Lebesgueovy míry na jest užitečný pro určení míry podmnožiny ℝn nižších dimenzí než n, jako podvariety, například povrchy nebo křivky v ℝ³ a fraktální množiny. Nezaměňujte Hausdorffovu míru s pojetím Hausdorffovy dimenze.

Lze ukázat, že nekonečněrozměrná Lebesgueova míra neexistuje.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Lebesgue measure na anglické Wikipedii.

  1. Termín objem se také používá, striktněji, jako synonymum 3-rozměrného objemu
  2. Henri Lebesgue. Intégrale, longueur, aire. [s.l.] : Université de Paris, 1902.  
  3. SOLOVAY, Robert M.. A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue measurable. Annals of Mathematics. 1970, s. 1-56. DOI:10.2307/1970696.