Cauchyovská posloupnost

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Cauchyovská posloupnost (také bolzanovská posloupnost) je taková posloupnost prvků metrického prostoru, jejíž členy se k sobě blíží libovolně blízko. Každá konvergentní posloupnost je nutně cauchyovská. Pomocí cauchyovské posloupnosti se definuje úplný metrický prostor. V něm cauchyovské posloupnosti a konvergentní posloupnosti splývají. To pak přináší výhodu při určování, zda posloupnost má limitu, neboť stačí ověřit, zda je cauchyovská, bez nutnosti samotnou limitu zjišťovat, jako např. u Banachovy věty o pevném bodě.

Definice[editovat | editovat zdroj]

V metrickém prostoru M s metrikou d je posloupnost ( x_1, x_2, \ldots ) cauchyovská, pokud pro ni platí tzv. Bolzanova-Cauchyho podmínka:

\forall \varepsilon > 0\; \exists n_0 \in \mathbb{N}\; \forall m, n \ge n_0: d(x_m, x_n) < \varepsilon

Příklady[editovat | editovat zdroj]

  • Harmonická posloupnost \frac 1 n je cauchyovská.
  • Každá konvergentní posloupnost v metrickém prostoru je cauchyovská, tzn. Bolzanova-Cauchyho podmínka je nutná podmínka konvergence, nikoli však obecně postačující (viz příklad racionálních čísel). Metrický prostor \mathbb{A}, v kterém má každá cauchyovská posloupnost limitu, která náleží do tohoto metrického prostoru \mathbb{A}, se nazývá úplný metrický prostor.
  • Posloupnost racionálních čísel (1 + 1/n)^n je cauchyovská, ale její limita je Eulerovo číslo, což je číslo iracionální. Prostor racionálních čísel (s eukleidovskou metrikou) proto není úplný metrický prostor.
  • Každá cauchyovská posloupnost je omezená. Z Bolzano-Weierstrassovy věty pak plyne, že každá cauchyovská posloupnost reálných čísel je už konvergentní, tzn. že prostor reálných čísel je úplný.