Ortonormální báze

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Ortonormální báze unitárního prostoru je pojem z lineární algebry a fukcionální analýzy označující takovou bázi onoho prostoru, jež je ortogonální a jejíž prvky jsou navíc normované, tedy prvky báze jsou jednotkové a jsou na sebe kolmé.

Tento pojem je důležitý pro konečně i nekonečně rozměrné prostory a obzvláště pak pro Hilbertovy prostory.

Konečný rozměrné prostory[editovat | editovat zdroj]

Nechť V je konečně rozměrný eukleidovský vektorový prostor se skalárním součinem \langle \cdot, \cdot \rangle, který indukuje normu \|\cdot\|. Pod ortonormální bází prostoru V pak rozumíme bázi B = \{b_1,\ldots,b_n\} z  V s těmito vlastnostmi:

  • \|b_i\| = 1 pro všechny i\in\{1,\ldots,n\}.
  • \langle b_i, b_j \rangle = 0 pro všechny i,j \in\{1,\ldots,n\} s i \neq j.

Například následující množina je ortonormální bází euklidovského vektorového prostoru \mathbb{R}^3 (spolu s přirozeně definovaným skalárním součinem).

\vec i = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\vec j = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\vec k = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}

Každý z těchto vektorů má délku 1 a všechny jsou na sebe kolmé protože jejich skalární součin je roven nule.

Základním algoritmem pro získání ortonormální báze z libovolné báze je Gramův-Schmidtův ortogonalizační proces.

Obecný případ[editovat | editovat zdroj]

V obecném případě unitárního prostoru  V nekonečné dimenze, nazýváme ortonormálním systémem  S ve  V takový systém, jehož lineární obal leží hustě ve  V .

Úplný ortonormální systém S má proto tu vlastnost, že pro každý prvek v \in V můžeme psát Fourierův rozvoj:

v=\sum_{u \in S} \langle v, u \rangle u .

Je důležité zdůraznit, že ve smyslu tohoto odstavce, v protikladu k případu s konečnou dimenzí, není ortonormální báze žádnou bází v běžném smyslu lineární algebry. To znamená, že prvek  v nelze obecně zapsat jako lineární kombinaci konečného počtu bázových vektorů (prvků z  S ), ale jen jako suma počitatelného nekonečného počtu prvků z  S , tedy jako nekonečnou řadu. Jinými slovy: Lineární obal není roven prostoru  V , leží ale hustě v tomto prostoru.

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Ortonormálna báza na slovenské Wikipedii.