Banachův prostor

Banachovy prostory jsou normované lineární prostory, které jsou navíc úplné. Jsou to jedny z ústředních objektů zkoumání funkcionální analýzy. Jsou pojmenovány podle Stefana Banacha, který je studoval.

Definice

Banachovým prostorem rozumíme úplný normovaný lineární prostor. To znamená, že Banachův prostor je vektorový prostor $V$ nad tělesem reálných nebo komplexních čísel s normou $\|.\|$, ve kterém má každá cauchyovská posloupnost v indukované metrice $d(x,y) = \|x - y\|$ limitu.

Příklady

• Prostory $\mathbb{R}^n$ a $\mathbb{C}^n$ (všechny n-tice reálných či komplexních čísel) jsou Banachovy v libovolné normě. Opatříme-li prostory $\mathbb{R}^n$ a $\mathbb{C}^n$ eukleidovskou normou

$\|x\| := \sqrt{|x_1|^2+\cdots+|x_n|^2}$,

pro $x = (x_1, \ldots ,x_n)$, budou dokonce Hilbertovy.

• Prostor všech spojitých funkcí $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ opatřený normou

$\|f\|_\infty := \max_{t \in [a,b]} |f(t)|$

je Banachův.

• Vybavíme-li předchozí prostor normou

$\|f\|_1 :=\int_a^b |f(t)|dt$ nebo $\|f\|_2 :=\sqrt{\int_a^b |f(t)|^2dt}$,

Banachův již nebude.

• Jestliže X je normovaný lineární prostor a Y je Banachův prostor, potom prostor všech omezených lineárních operátorů z X do Y s normou

$\|A\| := \sup\{\|Ax\|: x\in X, \|x\|\leq 1\}$

je Banachův prostor. Speciálně duální prostor X* k prostoru X je vždy Banachův, neboť v takovém případě $Y=\mathbb{C}$.

Související články

• Hilbertův prostor
• Lebesgueovy prostory