Homeomorfismus

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Homeomorfismus (z řeckého homeos = stejný, morphe = tvar) je zobrazení mezi topologickými prostory, které zachovává topologické vlastnosti, je to izomorfismus. Dva prostory, mezi kterými je homeomorfismus se nazývají homeomorfní. Z pohledu topologie jsou stejné (mají stejné vlastnosti).

[editovat] Definice

Zobrazení $f:X \rightarrow Y$ se nazývá homeomorfismus, pokud

je prosté
je spojité
Inverzní zobrazení $f^{-1}:f(Y) \rightarrow X$ je spojité.

Pokud existuje homeomorfismus $X$ na $Y$ , jsou prostory $X$ a $Y$ homeomorfní. Homeomorfismy jsou ekvivalence na třídách topologických prostorů.

[editovat] Příklady

Identické zobrazení na topologickém prostoru je vždy spojité.
Otevřený interval (-1, 1) je homeomorfní množině reálných čísel, příkladem je homeomorfismus $x \rightarrow \operatorname{tg}\ \pi x / 2$ .
Elementární funkce sin x, cos x a e^x jsou spojité na R s Eukleidovou topologií. Funkce tg x, ln x jsou spojité na svém definičním oboru.