Restrikce zobrazení

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Matematický pojem restrikce zobrazení vyjadřuje zobrazení, které má menší definiční obor, než původní zobrazení.

Význam[editovat | editovat zdroj]

Je-li f zobrazení a C podmnožina definičního oboru, pak restrikce zobrazení f na množinu C (značení {f|}_C) je zobrazení, které prvkům C přiřadí totéž, co f, ale jiným prvkům nepřiřadí nic.

Příklad: Označme f(x) = x^2 operaci mocnina celých čísel a g(x) jeho restrikci na čísla přirozená. Pak platí:

 f(3) = g(3) = 9
 f(-2) = 4
 g(-2) není definováno

Definičním oborem f jsou celá čísla, definičním oborem g jsou jen přirozená čísla

Formální definice[editovat | editovat zdroj]

Formálně se zobrazení definuje jako množina uspořádaných dvojic, tzn. jako podmnožina kartézského součinu:

f je zobrazení z množiny A do množiny B (značíme f: A \to B ), právě když f \subseteq A \times B .

Mějme zobrazení f: A \to B a množinu  C \subseteq A , pak restrikce f na C je definována takto:

{f|}_C = f \bigcap ( C \times B )

Jinými slovy, {f|}_C restrikce zobrazení f obsahuje pouze ty dvojice, jejichž levý prvek (tzv. vzor) leží v množině C.

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Je-li f funkce "druhá mocnina" na oboru  N^+  přirozených čísel, pak formálně vzato je f nekonečná množina dvojic:

f = { (1,1), (2,4), (3,9), (4,16), (5,25) ... }

Restrikcí f na množinu {1,2,3} je tříprvková množina

{f|}_{\{1,2,3\}} = f \bigcap ( \{1,2,3\} \times N^+ ) 
= \{ (1,1), (2,4), (3,9) \}

Množina  \{1,2,3\} \times N^+ obsahuje všechny uspořádané dvojice  (a,b) , kde b je přirozené číslo a  a \in \{1,2,3\}  . Dvojice (4,16) v této množině není, proto není ani prvkem průniku (tj. restrikce, kterou tento průnik definuje). Naopak dvojice (1,2) a (1, 2345) v této množině jsou, ale nejsou prvkem f, takže také nejsou prvkem výsledného zobrazení.