Restrikce zobrazení

Matematický pojem restrikce zobrazení vyjadřuje zobrazení, které má menší definiční obor, než původní zobrazení.

Význam

Je-li $f$ zobrazení a $C$ podmnožina definičního oboru, pak restrikce zobrazení $f$ na množinu $C$ (značení $f \upharpoonleft C$) je zobrazení, které prvkům $C$ přiřadí totéž, co $f$, ale jiným prvkům nepřiřadí nic.

Příklad: Označme $f(x) = x^2$ operaci mocnina celých čísel a g(x) jeho restrikci na čísla přirozená. Pak platí:

$f(3) = g(3) = 9$

$f(-2) = 4$

$g(-2)$ není definováno

Definičním oborem f jsou celá čísla, definičním oborem g jsou jen přirozená čísla

Formální definice

Formálně se zobrazení definuje jako množina uspořádaných dvojic, tzn. jako podmnožina kartézského součinu:

Říkáme, že f je zobrazení z množiny A do množiny B (značení: $f: A \to B$ ), pokud $f \subseteq A \times B$.

Je-li $f: A \to B$ a $C \subseteq A$, pak restrikce f na C je definována takto:

$f \upharpoonleft C = f \bigcap ( C \times B )$

Jinými slovy, restrikce obsahuje pouze ty dvojice, jejichž levý prvek (tzv. vzor) leží v množině C

Příklad

Je-li f funkce "druhá mocnina" na oboru $N^+$ přirozených čísel, pak formálně vzato je f nekonečná množina dvojic:

f = { (1,1), (2,4), (3,9), (4,16), (5,25) ... }

Restrikcí f na množinu {1,2,3} je tříprvková množina

$f \upharpoonleft \{1,2,3\} = f \bigcap ( \{1,2,3\} \times N^+ ) = \{ (1,1), (2,4), (3,9) \}$

Množina $\{1,2,3\} \times N^+$ obsahuje všechny uspořádané dvojice $(a,b)$, kde b je přirozené číslo a $a \in \{1,2,3\}$. Dvojice (4,16) v této množině není, proto není ani prvkem průniku (tj. restrikce, kterou tento průnik definuje). Naopak dvojice (1,2) a (1, 2345) v této množině jsou, ale nejsou prvkem f, takže také nejsou prvkem výsledného zobrazení.