Evoluční operátor

Tento článek potřebuje úpravy.

Můžete Wikipedii pomoci tím, že ho vylepšíte. Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl, Encyklopedický styl a Odkazy.

Evoluční operátor v kvantové teorii určuje časový vývoj systému. Jeho tvar je dán tím, jaký má systém hamiltonián. Operátor určuje vývoj stavů, což lze zapsat jako

$|\psi (t)\rangle =\hat{U}(t,t_0) |\psi (t_0)\rangle$.

Evoluční operátor je určen Schredingerovou rovnicí:

$\frac{d U (t,t_0)}{dt}= \frac{1}{i\hbar} \hat{H(t)} \hat{U(t,t_0)}$

Pokud hamiltonián systému nezávisí na čase, lze rovnici formálně řešit, platí:

$U(t,t_0)=\exp (-\frac{i}{\hbar} \hat{H} (t-t_0))$

Pro evoluční operátor platí:

$\hat{U}(t,t_0)= \hat{U}(t,t_1) \hat{U}(t_1,t_0)$

$\hat{U} (t,t) = 1$

$\hat{U}(t,t_0)= U^{-1} (t_0,t)$

Dále je evoluční operátor operátorem unitárním, neboť nemění velikost normy vektoru, tedy

$\hat{U}(t,t_0) \hat{U}^{+}(t,t_0)=1$

Výpočet evolučního operáturu je obecně nesnadnou záležitostí, známe-li však vlastní čísla $\epsilon_i$ a vlastní vektory $\psi_i$ časově nezávislého hamiltoniánu, pak je evoluční operátor dán jako:

$\hat{U}(t,t_0) = \sum_i \exp (-\frac{i}{\hbar} \epsilon_i (t-t_0)) |\psi_i\rangle \langle \psi_i |$

Kde platí

$\hat{H}|\psi_i \rangle= \epsilon_i |\psi_i \rangle$

$\langle \psi_i| \psi_j \rangle = \delta_{ij}$

$\sum_i |\psi_i\rangle \langle \psi_i |=1$