Hamiltonovská formulace mechaniky

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Hamiltonovská formulace mechaniky (někdy též hamiltonovská mechanika) představuje jiný přístup k popisu mechaniky než jaký využívají Newtonovy pohybové rovnice. Newtonovy pohybové rovnice sice umožňují úplně popsat mechanický pohyb, z matematického hlediska se však ukazuje, že je možné zvolit jiný přístup k popisu tohoto pohybu, který je v mnoha případech výhodnější. Hamiltonovská formulace mechaniky je obecnější než lagrangeovská, ze které původně vycházela.

Hamiltonovská formulace mechaniky je považována za součást teoretické mechaniky a objevil ji v roce 1833 William Rowan Hamilton. Hamiltonovská formulace mechaniky našla uplatnění nejen ve statistické fyzice, ale především při přechodu ke kvantové mechanice.

[editovat] Formulace

V této formulaci mechaniky se k popisu systému používají zobecněné souřadnice a zobecněné hybnosti, přičemž zobecněné souřadnice a jim odpovídající zobecněné hybnosti jsou považovány za rovnoprávné proměnné ve fázovém prostoru. Hamiltonovská formulace umožňuje pomocí vhodných transformací přecházet mezi souřadnicemi a hybnostmi a různě je zaměňovat. Takové souřadnice se označují jako kanonické a je při nich požadováno, aby si Hamiltonovy rovnice zachovávaly svůj tvar. Invariantem kanonických transformací je tzv. Poissonova závorka. Pohyb mechanických systémů lze pak chápat jako kanonickou transformaci.

[editovat] Hamiltonovy rovnice

Diferenciací Hamiltonovy funkce dostaneme

$\mathrm{d}H = \sum_i \left( \frac{\part H}{\part q_i}\mathrm{d}q_i + \frac{\part H}{\part p_j}\mathrm{d}p_j \right) + \frac{\part H}{\part t}\mathrm{d}t =$

$= \sum_i \left( \dot{q}_i\mathrm{d}p_i + p_i\mathrm{d}\dot{q}_i - \frac{\part L}{\part q_i}\mathrm{d}q_i - \frac{\part L}{\part \dot{q}_i}\mathrm{d}\dot{q}_i \right) - \frac{\part L}{\part t}\mathrm{d}t = \sum_i \left( \dot{q}_i\mathrm{d}p_i - \dot{p}_i\mathrm{d}q_i \right) - \frac{\part L}{\part t}\mathrm{d}t$ ,

kde $L$ je Lagrangeova funkce, $q i$ jsou zobecněné souřadnice a $p i$ jsou zobecněné hybnosti. Srovnáním jednotlivých koeficientů v tomto vztahu dostaneme výrazy

${\left(\frac{\part H}{\part t}\right)}_{p,q} = -{\left(\frac{\part L}{\part t}\right)}_{q,\dot{q}}$

$\dot{q}_i = \frac{\part H}{\part p_i}$

$\dot{p}_i = -\frac{\part H}{\part q_i}$

Tyto rovnice tvoří pro mechanický systém s $n$ stupni volnosti soustavu $2 n$ diferenciálních rovnic prvního řádu pro $2 n$ neznámých funkcí času $q i (t), p i (t), i = 1,2,..., n$ . Tyto rovnice jsou nižšího řádu než Lagrangeovy rovnice a jejich pravé strany nezávisí na derivacích hledaných funkcí. Tyto rovnice se nazývají Hamiltonovými (kanonickými) rovnicemi daného systému.